\documentclass[11pt]{article} 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{e}^}
\def\m{magicien }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2001}
\end{Large}
\end{center}
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\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(12 points)\\

\noindent \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}.\\
%\vspace{1cm}
\noindent On se propose d'étudier l'évolution en fonction du temps des températures d'un bain et d'un solide plongé dans ce bain. Ces températures (à l'instant $t$) sont respectivement notées $\alpha(t)$ et $\beta(t)$. Le temps $t$ est exprimé en seconde et les températures en °C.\\
\vspace{1cm}


\noindent\textbf{Partie A }\\
\linebreak
\noindent Les températures $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ vérifient les conditions suivantes:\\
\linebreak
$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
(1)\text{ } \alpha'(t)=-0,011 \left( \alpha(t)- \beta(t) \right) \\
(2) \text{ } \beta'(t)=0,021 \left( \alpha(t)- \beta(t) \right) \\
\end{array}
\right.$
avec
$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\alpha(0)=40 \\
\beta(0)=10 \\
\end{array}
\right.$\\
\begin{enumerate}
\item On pose $f(t)=\alpha(t)- \beta(t) $.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est une solution de l'\ode $y'+0,032y=0$.
\item Résoudre l'équation précédente.
\item Calculer $f(0)$ et montrer que $f(t)=30e^{-0,032t}$.
\end{enumerate}
\item Soit $F$ la primitive de $f$ qui vérifie $F(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $F(t)$ en fonction de $t$.
\item A l'aide de la condition (2) justifier que $\beta(t)=K+0,021F(t)$ où $K$ est une constante.
\item Déterminer $K$ et donner une expression de $\beta(t)$ en fonction de $t$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent\textbf{Partie B }\\
\linebreak
\noindent Pour tout $t$ dans $[0;+\infty[$ on pose $\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\alpha(t)=\cfrac{5}{16} \left( 95+33 e^{\frac{-4t}{125}} \right) \\
\beta(t)=\cfrac{5}{16}\left( 95-63e^{\frac{-4t}{125}} \right) \\
\end{array}
\right.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $\alpha$ ainsi que celle de $\beta$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire pour les courbes représentatives de ces deux fonctions?
\item Calculer la dérivée et donner les variations de chacune des fonctions $\alpha$ et $\beta$.
\item Construire les courbes représentatives des fonctions $\alpha$ et $\beta$ dans un repère \otg (sur papier millimétré ; unités graphiques: 1 cm pour 5 secondes en abscisses et 2 cm pour 5°C en ordonnée; on fera varier $t$ entre 0 et 120 secondes).
\item A partir de quel instant la différence de température entre le solide et le bain est-elle inférieure à 1°C?
\end{enumerate}


\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(8 points)\\

\noindent Un \m prétend qu'il peut souvent deviner à distance la couleur d'une carte tirée au hasard d'un jeu de cartes bien battu et comportant des cartes de deux couleurs différentes en nombre égal.\\
On appelle $p$ la \prob que le \m donne une réponse juste (succès) lors d'un tirage.\\
Si le magicien est un imposteur on a $p=\cfrac{1}{2}$, sinon $p>\cfrac{1}{2}$.\\
On appellera \ech de taille $n$ toute réalisation de $n$ tirages successifs d'une carte dans le jeu, avec remise.\\

\noindent\textbf{Partie A }\\
\linebreak
\noindent On suppose $p=\cfrac{1}{2}$ et on note $Y$ la \va qui, à tout \ech de taille $n$, associe le nombre de succès du \m .\\
(On arrondira les \probs au dix millième le plus proche.)\\
\begin{enumerate}
\item Dans cette question on prend $n=20$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $Y$? Donner ses paramètres.
\item Calculer la \prob $P(Y=15)$.\\
\end{enumerate}
\item Dans cette question on prend $n=100$. On admet que la \va $Y$ peut être approchée par une \va $Z$ suivant une  \norm.
\begin{enumerate}
\item Préciser les paramètres de cette \norm .
\item Utiliser cette approximation pour calculer $P(Y>60)$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B }\\
\linebreak
\noindent On appelle $F$ la \va qui, à tout \ech de taille $n$, associe la fréquence des succès obtenus par le \m au cours des $n$ tirages d'une carte. On admet que $F$ suit la \norm de \mo inconnue $p$ et d'\et $\sqrt{\cfrac{p(1-p)}{n}}$.\\
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{}
\item On construit un test unilatéral permettant de détecter, au risque de 5\%, si le \m est un imposteur.
\item On choisit comme hypothèse nulle $H_0$ : $p=\cfrac{1}{2}$, et comme hypothèse alternative $H_1$ : $p > \cfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que $P \left( F \leqslant \cfrac{1}{2}+h  \right) = 0,95$.
\item Enoncer la règle de décision du test.
\item Sur un \ech de taille 100, le \m a obtenu 64 succès. Peut-on considérer, au risque de 5\%, que le \m est un imposteur?
\end{enumerate}
\end{itemize}




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%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
