\documentclass[11pt]{article} 
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{e}^}
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2000}
\end{Large}
\end{center}
%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(9 points)\\

\noindent \textbf{Etude du résultat de la pesée d'un objet de masse m (exprimée en grammes)}.\\
%\vspace{1cm}
\noindent On admet que la \va $X$ qui prend comme valeurs les résultats de la pesée  d'un même objet donné suit la \norm de \mo $m$ et d'\et $\sigma$.\\
\vspace{1cm}


\noindent\textbf{Partie A }\\
\linebreak
\noindent Dans cette partie, on suppose que $m=72,40$ et $\sigma=0,08$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la \prob des \evs suivants (les résultats seront arrondis au millième le plus proche):
\begin{enumerate}
\item \og  $X>72,45$ \fg
\item \og  $X<72,25$ \fg
\item \og  $72,30 < X <72,50$ \fg.
\end{enumerate}
\item Déterminer le réel strictement positif $h$ (arrondi au centième) tel que la \prob pour que $X$ prenne une valeur dans l'intervalle $[m-h,m+h]$ soit égale à 0,989.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent\textbf{Partie B }\\
\linebreak
\noindent Dans cette partie, on suppose que $m$ et $\sigma$ sont inconnus.\\
On a relevé dans la tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet:\\
%\linebreak
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline \small{masse en} &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 
  & 72,20 & 72,24 & 72,26 & 72,30 & 72,36 & 72,39 & 72,42 & 72,48 & 72,50 & 72,54 \\ 
 \small{grammes} &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
Les résultats seront arrondis au centième le plus proche.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la \mo et l'\et de cet \ech .
\item En déduire des estimations ponctuelles de la \mo $m$ et de l'\et $\sigma$ de la variable $X$.
\item Dans la suite, on admet que la \va qui à tout \ech de 10 pesées associe la \mo de ces pesées suit une \norm . En prenant pour \et la valeur estimée en 2), donner un \ic au seuil de 5\% de la \mo $m$.
\item L'\et de l'appareil de pesée, mesuré à partir de nombreuses études antérieures, est en réalité pour un objet ayant environ cette masse, de 0,08. Dans cette question, on prend donc $\sigma=0,08$
\begin{enumerate}
\item Donner un \ic au seuil de 5\% de la \mo $m$.
\item Déterminer $\alpha$ (à l'unité près) pour que au seuil de $\alpha$ \%, un \ic de $m$ soit
\[ [72,31 ; 72,43] \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(11 points)\\


\noindent\textbf{Partie A }\\
\linebreak
\noindent Suite à un incident nucléaire, on a consigné dans le tableau suivant, heure par heure, les résultats fournis par un appareil de mesure de la radioactivité. Les $N_i$ sont des nombres entiers représentant le nombre de particules recueillies par l'appareil pendant une seconde.\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline $t_i$ en heure & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 
\hline $N_i$ & 170 & 102 & 63 & 39 & 24 & 16 & 9 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On pose $z_i=\text{ln}(N_i-2)$ pour tout $i$ variant de 0 à 6 (où ln désigne le logarithme népérien).\\
Donner les valeurs de $z_i$ arrondies au millième le plus proche.\\
Représenter le nuage $(t_i;z_i)$ dans un repère \otg (unités graphiques: 3 cm pour une heure en abscisse, 4 cm pour une unité en ordonnée).
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $(t_i;z_i)$ et donner une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ (les coefficients seront arrondis au millième le plus proche).
\item Donner l'expression de $N$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.
\item En supposant que l'expression obtenue en 3) reste valable, déterminer à partir de quel relevé on obtiendra une valeur de $N$ inférieure ou égale à 3.\\
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B }\\
\linebreak
\noindent Une étude plus approfondie mène à faire l'hypothèse que la fonction, qui au temps $t$ (en heure), associe le nombre $N(t)$ est une solution de l'\ode :
\[y'=\alpha (y-2) \text{  où }\alpha \text{ est une constante réelle}.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'\ode ci-dessus.
\item En déduire la solution qui prend la valeur 170 pour t=0 et la valeur 9 pour t=6.\\
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie C }\\
\linebreak
\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=168\exp{-0,53x}+2$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère \otg (unités graphiques: 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 mm sur l'axe des ordonnées)
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$; interpréter géométriquement le résultat obtenu.
\item Chercher les variations de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$
\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$.
\item Résoudre l'équation $f(x) \leqslant 30$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$; vérifier graphiquement.
\item Calculer la valeur \mo de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1;6]$; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}




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%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
