\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{e}^}
\def\m{médicament }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 1999}
\end{Large}
\end{center}
Durée : 1 heure \hfill Coefficient : 1\\
\linebreak
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline  Les calculatrices de poche sont autorisées\\ 
Le formulaire officiel est autorisé\\
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront\\
pour une part importante dans l'appréciation des copies\\
\hline 

\end{tabular}
\end{center}
\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(12 points)\\
\linebreak
\noindent Les statistiques ont permis d'établir qu'en période de compétition la \prob , pour un sportif pris au hasard, d'être déclaré positif au contrôle antidopage est égale à 0,02.\\
\begin{enumerate}
\item La prise d'un \m M peut entraîner, chez certains sportifs, un contrôle antidopage positif. En période de compétition, ce \m , qui diminue fortement les effets de la fatigue musculaire, est utilisé par 25 \% des sportifs. La \prob , pour un tel sportif, d'être déclaré positif au contrôle antidopage est alors égale à 0,05.\\
Pour un sportif choisi au hasard en période de compétition, on appelle $A$ l'\ev : \og utiliser le \m M \fg \quad et $B$ l'\ev : \og être déclaré positif au contrôle antidopage \fg. \\
\begin{enumerate}
\item Préciser les \probs suivantes: $P(A)$, $P(B)$ et $P(B/A)$.\\
Calculer alors $P(A \cap B)$.
\item Pour un sportif choisi au hasard en période de compétition calculer la \prob de chacun des \evs suivants:\\
$E_1$ "utiliser le \m M sachant qu'il est déclaré positif au contrôle antidopage " \\
$E_2$ "être déclaré positif au contrôle antidopage sachant qu'il n'utilise pas le \m M " .\\
\end{enumerate}
\item Au cours d'une compétition, on fait subir des contrôles antidopage à un \ech $\mathcal{E}$ de 50 sportifs choisis au hasard. On désigne par $X$ la \va qui mesure le nombre d'individus dont les contrôles sont déclarés positifs. On admet que $X$ suit la loi \bin $\mathcal{B}( 50 ; 0,02 )$.\\
\emph{Pour les questions a) et b), les résultats seront arrondis à $10^{-3}$}\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la \prob qu'aucun contrôle ne soit déclaré positif.\\
Déterminer l'espérance et la variance de la \va $X$.
\item On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi \dP dont on précisera le paramètre. Calculer alors la \prob $P(X \geqslant 1)$.\\
\end{enumerate}
\item On décide de construire un test qui, à la suite des contrôles sur un \ech $\mathcal{E}$ de 50 sportifs prélevé au hasard, permette de décider si, au seuil de signification de 10\%, le pourcentage de sportifs contrôlés positifs est de $p=0,02$.\\
\begin{enumerate}
\item \textit{\qquad Construction du test bilatéral:}
Soit $F$ la \va qui, à tout \ech de 50 sportifs contrôlés, associe le pourcentage de sportifs contrôlés positivement. On suppose que $F$ suit la \norm $\mathcal{N} \left( p ; \sqrt{\cfrac{p(1-p)}{n}} \right)$ où $p=0,02$ et $n=50$.\\
Enoncer une hypothèse nulle $H_0$ et hypothèse alternative $H_1$ pour ce test bilatéral.\\
Déterminer, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $a$ tel que $P(p-a \leqslant F \leqslant p+a)=0,9$.\\
Enoncer la règle de décision du test.\\
\item \textit{\qquad Utilisation du test :}\\
Dans l'\ech $\mathcal{E}$ deux contrôles antidopage ont été déclarés positifs. En appliquant la règle de décision du test à cet \ech assimilé à un \ech aléatoire non exhaustif, peut-on conclure au seuil de risque 10 \% que l'\ech observé est représentatif de l'ensemble de la population sportive?\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(8 points)\\


\noindent Après la prise d'un \m M, le principe actif traverse la muqueuse intestinale puis passe dans le sang où il est dégradé puis évacué.\\
On suppose que ce procesus démarre à l'instant $t=0$.\\
A l'instant $t$, on appelle $Q(t)$ la quantité de principe actif présente dans le sang ; $Q(t)$ est exprimée en mg et le temps $t$ est exprimé en minutes ($0 \leqslant t \leqslant 660$).\\
On suppose que $Q(0)=0$ et on admet que la fonction $Q$ est solution de l'\ode (E):
\[ (E): \qquad 6 \cfrac{dQ}{dt} + Q = -0,003 t + 1,982 \]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'\ode:
\[ \qquad 6 \cfrac{dQ}{dt} + Q =0\]
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction : $t \mapsto at+b$ soit solution de l'\ode (E).
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $Q$ définie pour $0 \leqslant t \leqslant 660$ par:
\[  Q(t)=2-0,003 t - 2 e^{-\frac{t}{6}} \]
est solution de (E) et satisfait la condition initiale $Q(0)=0$.
\item La représentation graphique de la fonction $Q$ est donnée ci-après:
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,11)%
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(7,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,11)
%\psframe(0,0)(7,11)
\psgrid[gridcolor=gray,subgriddots=5,linewidth=0.7pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=5](0,0)(7,11)
\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){100}\uput[d](2,0){200}\uput[d](3,0){300}\uput[d](4,0){400}\uput[d](5,0){500}\uput[d](6,0){600}\uput[d](7,0){$t$}
\uput[l](-0.1,0){0}\uput[l](-0.1,1){0,2}\uput[l](-0.1,2){0,4}\uput[l](-0.1,3){0,6}\uput[l](-0.1,4){0,8}\uput[l](-0.1,5){1}\uput[l](-0.1,6){1,2}\uput[l](-0.1,7){1,4}\uput[l](-0.1,8){1,6}\uput[l](-0.1,9){1,8}\uput[l](-0.1,10){$Q(t)$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1pt]{0}{6.5}{5 2 0.003 100 x mul mul sub 2 2.7182818 0 100 x mul 6 div sub exp mul sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{2cm}
Vérifier, par le calcul, le sens de variation de la fonction $Q$ et montrer que la quantité de principe actif présente dans le sang est maximale à l'instant $t=-6 \text{ ln }0,009$ (min).\\
Calculer la valeur maximale de $Q(t)$: On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut.
\end{enumerate}

\end{enumerate}




\end{document}
