\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ci{condition initiale }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{ e}^}
    \usepackage[latin1]{inputenc}                                 %%
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 \def\inputGnumericTable{}
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\usepackage[frenchb]{babel} 
\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 1998}
\end{Large}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline  Les calculatrices de poche sont autorisées conformément\\ 
à la circulaire n° 86-228 du 28 juillet 1986.\\
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront\\
pour une part importante dans l'appréciation des copies\\
\hline 

\end{tabular}
\end{center}

%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(8 points)\\
\linebreak
\noindent Pour étudier l'érythroblastose, on injecte du fer radioactif par voie veineuse, on constate que sa concentration plasmatique décroît au cours du temps; cette décroissance est caractérisée par une période $T$(temps en minutes au bout duquel la concentration a diminué de moitié).\\
Cet examen effectué sur un \ech de 400 sujets sains a donné les résultats suivants:\\
%\linebreak
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \small{Période} & [60,65[ & [65,70[ & [70,75[ & [75,80[ & [80,85[ & [85,90[ & [90,95[ \\ 
\hline \small{Nombre} &  &  &  &  &  &  &  \\ 
 \small{de sujets} & 5 & 11 & 18 & 29 & 40 & 51 & 57 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\linebreak
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline  [95,100[ & [100,105[ & [105,110[ & [110,115[ & [115,120[ & [120,125[ & [125,130[ \\ 
\hline    &  &  &  &  &  &  \\ 
 \small 54 & 48 & 35 & 25 & 15 & 8 & 4 \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\end{center}
%\linebreak
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de la \mo $m_e$ et l'\et $\sigma_e$ de cette série, arrondis au dixième le plus proche.
\item On admet que $T$, la \va exprimant la période, suit la \norm de paramètres $m$ et $\sigma$ ; donner des estimations ponctuelles pour $m$ et $\sigma$.
\item Donner un \ic pour $m$, au seuil de risque 5 \%.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(12 points)\\


\noindent Une étude sur le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence, a conduit à stipuler que l'évolution de la population suit l'\ode suivante:\\
\[(E_1) \text{ : }\qquad N'(t)=2 N(t) - 0,0045 [N(t)]^2 \qquad (t \geqslant 0) \]
où le temps $t$ est exprimé en heures et $N(t)$ représente le nombre d'individus présents dans l'enceinte à l'instant $t$.\\
Le nombre initial d'individus (à l'instant t=0) est $N_0=10^3$.\\
\begin{enumerate}
\item On pose $Y(t)=\cfrac{1}{N(t)}$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $Y$.
\item Montrer que $Y$ vérifie l'\ode :
\[(E_2) \text{ : }\qquad Y'(t)= - 2 Y(t) + 0,0045  \qquad (t \geqslant 0) \]
\item Résoudre cette \ode $(E_2)$.\\
(on cherchera une solution particulière constante).
\item Montrer alors que, compte tenu de la \ci , on a :
\[N(t)=\cfrac{2}{0,0045 - 0,0025 \exp{-2t}}\]\\
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour $t \in [0 , +\infty [$ par : $f(t)=\cfrac{2}{- 0,0025 \exp{-2t} + 0,0045}$\\
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ sur $[0 , +\infty [$.
\item Dans le plan rapporté à un repère \otg \Oij \\
(unités graphiques : 5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 individus sur l'axe des ordonnées) représenter graphiquement $f$.
\item En admettant que $N(t)=f(t)$, au bout de combien de temps la population initiale aura-t-elle diminué de moitié?
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}
