\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ci{condition initiale }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{ e}^}
\def\p{protéines }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 1997}
\end{Large}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline  Les calculatrices de poche sont autorisées conformément\\ 
à la circulaire n° 86-228 du 28 juillet 1986.\\
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront\\
pour une part importante dans l'appréciation des copies\\
\hline 

\end{tabular}
\end{center}

%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(8 points)\\
\linebreak
\noindent On fait absorber une substance $S$, dosée à 2 mg de principe actif, à un animal. Cette substance libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $f(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ ($t \geqslant 0$, donné en heures).\\
Après étude on constate que la fonction $f$ est solution de l'\ode :
\[ (E) \qquad \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}+0,5 y = 0,5 \exp{-0,5t} \]
et qu'elle vérifie : $f(0)=0$
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'\ode :
\[ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}+0,5 y = 0 \]
\item Déterminer le nombre réel $\alpha$ tel que la fonction : $t \mapsto \alpha t \exp{-0,5 t}$ soit solution de l'\ode $(E)$.
\item Déterminer la solution générale de $(E)$. En déduire la solution de $(E)$ satisfaisant la \ci .
\item On admet que la quantité totale $Q(x)$ de principe actif libérée par le produit $S$ dans le sang au bout de $x$ heures est donnée (en mg) par :
\[Q(x)=\displaystyle\int_0 ^x f(t) \text{ d}t\]
En admettant que la fonction $F$ définie pour $t \geqslant 0$ par $F(t)=(-t-2)\exp{-0,5t}$ soit une primitive de $f$, calculer la quantité de principe actif libérée par le produit $S$ au bout de 5 heures (donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près).
\end{enumerate}
\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(12 points)\\


\noindent On s'intéresse aux effets d'une maladie $M$ sur le taux $X$ de certaines \p dans le sang.
\begin{enumerate}
\item Une étude antérieure a permis de montrer que ce taux $X$, mesuré dans une unité convenable, suit une \norm de \mo 130 et d'\et $\sigma=5,2$.\\
Calculer le pourcentage d'individus de la population dont le taux $X$ est compris entre 125 et 140.
\item Afin de mesurer les effets de la maladie $M$ sur le taux $X$ de ces \p on effectue dans un premier temps un calcul de \prob . Dans une population de grand effectif on a constaté que 5\% des individus sont atteints de la maladie $M$, 20\% ont un taux de \p considéré comme anormal et 3\%  sont atteints de la maladie $M$ et ont un taux de \p anormal.\\
Pour un individu choisi au hasard, on appelle $A$ l'\ev : "être atteint de la maladie $M$" et $B$ l'\ev : "avoir un taux de \p anormal".
\begin{enumerate}
\item Préciser les \probs suivantes: $P(A)$; $P(B)$; $P(A \cap B)$. En déduire $P(A \cup B)$.
\item Les \evs $A$ et $B$ sont-ils indépendants?
\item Quelle est la \prob pour un individu d'avoir un taux de \p anormal sachant qu'il est atteint de la maladie $M$ ?
\item Quelle est la \prob pour un individu d'être atteint de la maladie $M$, sachant qu'il a un taux anormal de \p ?
\end{enumerate}
\item Dans un deuxième temps on effectue un test statistique de comparaison des moyennes de deux échantillons. Pour cela on prélève au hasard dans la population un \ech $E_1$ de 36 individus atteints de la maladie $M$ et un \ech $E_2$ de 36 individus sains.\\
Pour chacun de ces individus on mesure le taux de \p . La \mo obtenue pour l'\ech $E_1$ est de 128 et la \mo obtenue pour l'\ech $E_2$ est de 131.\\
On admet que l'\et du taux de \p dans chacune des populations parentes de $E_1$ et $E_2$ est égal à 5,2.\\
\vspace{1cm}
Au seuil de risque 5\% peut-on considérer que la maladie $M$ modifie le taux $X$ de ces \p ?
\end{enumerate}




\end{document}
