\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ci{condition initiale }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{ e}^}
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 \def\inputGnumericTable{}
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 1996}
\end{Large}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline  Les calculatrices de poche sont autorisées conformément\\ 
à la circulaire n° 86-228 du 28 juillet 1986.\\
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront\\
pour une part importante dans l'appréciation des copies\\
\hline 

\end{tabular}
\end{center}

%\newpage

\noindent\textbf{\underline{EXERCICE 1} (sur 10 points)}\\
\linebreak
\begin{enumerate}
\item On note $y(t)$ la température en degrés celsius d'une réaction chimique en fonction du temps $t$, $t$ étant exprimé en heures.\\
Après étude, on constate que la température est solution de l'\ode :
\[ (E) \cfrac{\text{d}y}{\text{d}t}+y=\exp{-0,25 t}\]
avec la \ci : $y(0)=20$.\\
\begin{enumerate}
\item Résoudre pour $t \in [0, +\infty [$, l'équation : $\cfrac{\text{d}y}{\text{d}t}+y=0$
\item Déterminer le réel $k$ tel que la fonction : $t \mapsto k \exp{-0,25t}$ soit une solution particulière de $(E)$.
\item En déduire la solution générale de $(E)$.
\item Déterminer la solution de $(E)$ satisfaisant la \ci.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f : t \mapsto \cfrac{1}{3} \left[ 56 \exp{-t}+4 \exp{-0,25 t} \right]$ pour  $t \in [0, +\infty [$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ sur  $[0, +\infty [$
\item Dans le plan rapporté à un repère \otg \Oij \\
(unités graphiques : 2 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 1 cm pour un degré sur l'axe des ordonnées) représenter graphiquement $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{\underline{EXERCICE 2} (sur 10 points)}\\
\linebreak
\begin{center}
\textbf{\underline{PARTIE A}}
\end{center}
\noindent Dans une ville A, le centre de transfusion sanguine effectue 2000 prélèvements par jour.\\
La \prob pour qu'un prélèvement soit retenu est égale à $\cfrac{4}{5}$.\\
On désigne par $X$ la \va prenant comme valeurs le nombre de prélèvements retenus chaque jour.\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer les paramètres de la loi \bin suivie par la \va $X$.
\item Donner l'espérance mathématique de $X$, puis son \et à $10^{-1}$ près par excès.
\item On admet que cette loi peut être approchée par une \norm de \mo 1600 et d'\et 17,9. Déterminer, avec cette approximation, la \prob : $P(X>1620)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\underline{PARTIE B}}
\end{center}
\noindent Dans une ville B, le centre de transfusion sanguine effectue également 2000 prélèvements par jour.\\
Pendant 30 jours, on a retenu 47928 prélèvements. On suppose que tous les prélèvements sont indépendants.\\
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de la \prob $p$ de retenir un prélèvement.
\item En déduire une estimation du nombre moyen de prélèvements retenus par jour.
\item Déterminer un \ic au risque 5 \% pour la \prob $p$.
\end{enumerate}



\end{document}
