\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

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\usepackage{pifont}
\usepackage{enumitem}
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\usepackage{palatino}
\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.35}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module
\newcommand{\cnp}[2]{\renewcommand{\arraystretch}{1}\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=6,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=violet, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Arithmetique.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Arithmétique}}{\footnotesize Terminale S - Spé} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------

\headerbox{\bf Division euclidienne} %%%%%%%
{name=euc,column=0,span=6}
{
Soit $a\in\Z$ et $b\in\N^*$, il existe un unique couple $(q,r)$ tel que $a =bq+r$ avec $0\leq r<b$ \\
Vocabulaire : $a$ est le dividende ; $b$ le diviseur ; $q$ le quotient et $r$ le reste
}

\headerbox{\bf Congruence dans \bm{$\Z$}} %%%%%%%
{name=con,column=3,span=3,below=euc}
{
$a$ et $b$ ont même reste dans la division euclidienne par $n$ \\
$\iff a$ est congru à $b$ modulo $n$ \\
$\iff a-b$ est multiple de $n$
\begin{itemize}
   \item Notation : $a\equiv b\,(n)$
   \item Réflexivité : $a\equiv a\,(n)$
   \item Symétrie : $a\equiv b\,(n) \Longrightarrow b\equiv a\,(n)$
   \item Transitivité : $\Syst{a\equiv b\,(n)}{b\equiv c\,(n)} \Longrightarrow a\equiv c\,(n)$
   \item Addition : $\Syst{a\equiv b\,(n)}{a'\equiv b'\,(n)} \Longrightarrow a+a'\equiv b+b'\,(n)$
   \item Multiplication : $\Syst{a\equiv b\,(n)}{a'\equiv b'\,(n)} \Longrightarrow aa'\equiv bb'\,(n)$
   \item Puissance : $a\equiv b\,(n) \Longrightarrow a^k\equiv b^k\,(n)$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Divisibilité dans \bm{$\Z$}} %%%%%%%
{name=div,column=0,span=3,below=euc,bottomaligned=con}
{
\qquad \; $a$ divise $b$ \\
$\iff b$ multiple de $a$ \\
$\iff$ il existe $k\in\Z$ tel que $b =ka$ \\
\begin{itemize}
   \item Notation : $a/b$
   \item Réflexivité : $a/a$
   \item Transitivité : $\Syst{a/b}{b/c} \Longrightarrow a/c$
   \item Linéarité : $\Syst{a/b}{a/c} \Longrightarrow a/bu+cv$
   \item Lien avec les congruences : $a/b \iff b\equiv0(a)$
   \item Lien avec le PGCD : $a/b \iff PGCD(a,b) =a$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Nombres premiers} %%%%%%%
{name=pre,column=0,span=6,below=div}
{
Un entier $p$ supérieur ou égal à 2 est premier si et seulement si il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même \\
Théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique à l’ordre des facteurs près en produit de facteurs premiers : on note $p =p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_n^{\alpha_n}$ \\
Critère d'arrêt : si $n$ n'admet pas de diviseur premier $p$ tel que $2\leq p\leq\sqrt{n}$ alors $n$ est premier
}

\headerbox{\bf PGCD, PPCM} %%%%%%%
{name=pgc,column=0,span=6,below=pre}
{
L'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ admet un plus grand élément noté PGCD$(a,b)$ \\
L'ensemble des multiples communs à $a$ et $b$ admet un plus petit élément noté PPCM$(a,b)$
\begin{itemize}
   \item Si $\Syst{a =p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_n^{\alpha_n}\smallskip}{b =p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\dots p_n^{\beta_n}}$ alors $\Syst{\text{PGCD}(a,b) =p_1^{m_1}p_2^{m_2}\dots p_n^{m_n}\smallskip}{\text{PPCM}(a,b) =p_1^{M_1}p_2^{M_2}\dots p_n^{M_n}}$ où $m_i =\min(\alpha_i,\beta_i)$ et $M_i =\max(\alpha_i,\beta_i)$ \smallskip
   \item PGCD$(ka,kb) = k$PGCD$(a,b)$
   \item Si $a =bq+r$, alors PGCD$(a,b) =$ PGCD$(b,r)$
   \item Le PGCD de deux nombres non nuls est le dernier reste non nul de la suite des divisions de l'algorithme d'Euclide
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Théorème de Bézout} %%%%%%%
{name=bez,column=0,span=3,below=pgc,above=bottom}
{
\begin{itemize}
   \item PGCD$(a,b) =1$ \\
   $\iff$ $a$ et $b$ sont premiers entre eux \\
   $\iff$ il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv =1$
   \item Identité de Bézout : PGCD$(a,b) =d$ \\
   $\Longrightarrow$ il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv =d$
   \item Corollaire de Bézout : l'équation $ax+by =c$ admet des solutions entiers $\iff c$ est multiple de PGCD$(a,b)$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Théorème de Gauss} %%%%%%%
{name=gau,column=3,span=3,below=pgc,above=bottom}
{
$\Syst{a/bc}{\text{PGCD}(a,b) =1} \Longrightarrow a/c$ \\ [1mm]
Corollaires : \smallskip
\begin{itemize} 
   \item $\Syst{a/c \text{ et } b/c}{\text{PGCD}(a,b) =1} \Longrightarrow ab/c$ 
   \item $\Syst{p \text{ premier}}{p/ab} \Longrightarrow p/a$ ou $p/b$
\end{itemize}
}

\end{poster}
\end{document}


