\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{palatino}
\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module
\newcommand{\cnp}[2]{\renewcommand{\arraystretch}{1}\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=6,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=blue, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Proba_discretes.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Probabilités discrètes}}{\footnotesize Terminale S} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------

\headerbox{\bf Rappel sur les probabilités et variables aléatoires} %%%%%%%
{name=rap,column=0,span=6}
{
$P(\varnothing)=0$ \quad ; \quad $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ \quad ; \quad $P(\Omega)=1$ \quad ; \quad $P(\overline{A})=1-P(A)$ \quad ; \quad $P(A\cup B) =P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ \\ [1mm]
Espérance : $E(X) =\sum\limits_{i=1}^nx_iP(X =x_i)$ \; ; \; Variance : $V(X) =\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-E(X)\right)^2P(X =x_i)$ \; ; \; Écart-type : $\sigma(X) =\sqrt{V(X)}$
}

\headerbox{\bf Arbre pondéré de la loi binomiale} %%%%%%%
{name=rep,column=2,span=2,below=rap}
{\footnotesize \pstree[treemode=R,nodesep=2pt,levelsep=1.75cm,treesep=0.5cm]{\TR{}}
   {
   \pstree{\TR{$S$}\naput{$p$}}
      {
      \pstree{\TR{$S$}\naput{$p$}}
         {
         \TR{$S$\quad\dots}\naput{$p$}
         \TR{$\overline{S}$\quad\dots}\nbput{$1-p$}
         }
      \pstree{\TR{$\overline{S}$}\nbput{$1-p$}}
         {
         \TR{$S$\quad\dots}\naput{$p$}
         \TR{$\overline{S}$\quad\dots}\nbput{$1-p$}
         }
      }
   \pstree{\TR{$\overline{S}$}\nbput{$1-p$}}
      {
      \pstree{\TR{$S$}\naput{$p$}}
         {
         \TR{$S$\quad\dots}\naput{$p$}
         \TR{$\overline{S}$\quad\dots}\nbput{$1-p$}
         }
      \pstree{\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac56$}}
         {
         \TR{$S$\quad\dots}\naput{$p$}
         \TR{$\overline{S}$\quad\dots}\nbput{$1-p$}
         }
      }
   } \medskip
}

\headerbox{\bf Loi de Bernoulli} %%%%%%%
{name=ber,column=0,span=2,below=rap,bottomaligned=rep}
{
Expérience qui n'a que deux issues possibles : \og succès \fg{} de probabilité $p$ et \og échec \fg{} de probabilité $1-p$ \\ [5mm]
Notation : $\mathcal{B}(p)$ \\
$P(X =1) =p$ et $P(X =0) =1-p$ \\
$E(X) =p$ \\
$V(X) =p(1-p)$ \\
$\sigma(X) =\sqrt{p(1-p)}$
}

\headerbox{\bf Loi binomiale} %%%%%%%
{name=exp,column=4,span=2,below=rap,bottomaligned=rep}
{
Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. $X$ est égale au nombre de succès. \\ [5mm]
Notation : $\mathcal{B}(n;p) \quad ; \quad q =1-p$ \\ [1mm]
$P(X=k)=\cnp{n}{k}\times p^k\times q^{n-k}$ \\
$E(X)=np$ \\
$V(X) =npq$ \\
$\sigma(X) =\sqrt{npq}$
}

\headerbox{\bf Probabilités conditionnelles} %%%%%%%
{name=con,column=0,span=4,below=ber}
{
Probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé : $P_A(B)= \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A)\neq0$ \\
Cas d'équiprobabilité sur $\Omega$ : $P_A(B) =\dfrac{\text{card}(A\cap B)}{\text{card}{(A)}}$ \\ [2mm]
Probabilités composées : $P(A \cap B ) = P(A)\times P_A(B) = P(B)\times P_B(A)$ \\ [1mm] 
Probabilités totales avec $\{A_1,\, A_2,\, \ldots , \, A_n \}$ formant une partition de $\Omega$ : \\ [1mm]
$P(B) =P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B)$ \\ [1mm]
$P(B) =P(A_1)P_{A_1}(B)+P(A_2)P_{A_2}(B)+\dots+P(A_n)P_{A_n}(B)$
}

\headerbox{\bf Indépendance de deux événements} %%%%%%%
{name=ind,column=4,span=2,below=ber,bottomaligned=con}
{
$A$ et $B$ indépendants \\
$\iff P(A\cap B) =P(A)\times P(B)$ \\
$\iff P_A(B) =P(B)$ \\
$\iff P_B(A) =P(A)$ \\ [3mm]
$A$ et $B$ indépendants \\
$\iff \overline{A}$ et $B$ indépendants \\ 
$\iff A$ et $\overline{B}$ indépendants \\ 
$\iff \overline{A}$ et $\overline{B}$ indépendants
}

\headerbox{\bf Arbre de probabilité} %%%%%%%
{name=arb,column=0,span=6,below=con,above=bottom}
{
\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(16.5,3.7)
\textcolor{black}{
   \rput(0,0){\rnode{O}{}}
   \rput(3.5,2){\rnode{L}{$A$}}
   \rput(7.5,2.5){\rnode{LF}{$S$}}
   \rput(7.5,1.5){\rnode{LG}{$\overline{S}$}}
   \rput(3.5,0){\rnode{E}{$B$}}
   \rput(7.5,0.5){\rnode{EF}{$S$}}
   \rput(7.5,-0.5){\rnode{EG}{$\overline{S}$}}
   \rput(3.5,-2){\rnode{S}{$C$}}
   \rput(7.5,-1.5){\rnode{SF}{$S$}}
   \rput(7.5,-2.5){\rnode{SG}{$\overline{S}$}}
   \psset{nodesep=3pt,nrot=:U}
   {\small
      \ncline{O}{L} \naput{$P(A)$}
      \ncline{L}{LF} \naput{$P_A(S)$}
      \ncline{L}{LG} \nbput{$P_A(\overline{S})$}
      \ncline{O}{E} \ncput{$P(B)$}
      \ncline{E}{EF} \naput{$P_B(S)$}
      \ncline{E}{EG} \nbput{$P_B(\overline{S})$}
      \ncline{O}{S} \nbput{$P(C)$}
      \ncline{S}{SF} \naput{$P_C(S)$}
      \ncline{S}{SG} \nbput{$P_C(\overline{S})$}
   }
   \rput(1.8,3.5){\it{\footnotesize{probabilités simples}}}
   \rput(5.75,3.5){\it{\footnotesize{probabilités conditionnelles}}}}
   \psline[linestyle=dotted](3.75,-3)(3.75,3.5)
   \psline[linestyle=dotted](7.8,-3)(7.8,3.5)
\textcolor{blue}{
   \rput(10.4,3.5){\it{\footnotesize{probabilités composées}}}
   \rput(10.25,2.5){$P(A\cap S) =P(A)\times P_A(S)$}
   \rput(10.25,1.5){$P(A\cap \overline{S}) =P(A)\times P_A(\overline{S})$}
   \rput(10.25,0.5){$P(B\cap S) =P(B)\times P_B(S)$}
   \rput(10.25,-.5){$P(B\cap \overline{S}) =P(B)\times P_B(\overline{S})$}
   \rput(10.25,-1.5){$P(C\cap S) =P(C)\times P_C(S)$}
   \rput(10.25,-2.5){$P(C\cap \overline{S}) =P(C)\times P_C(\overline{S})$}
   \psline[linestyle=dotted](13,-3)(13,3.5)}
   \rput(15.,3.5){\it{\footnotesize{\textcolor{violet}{probabilités totales}}}}
   \rput(12.75,2.5){\rnode{F1}{}}
   \rput(12.75,0.5){\rnode{F2}{}}
   \rput(12.75,-1.5){\rnode{F3}{}}
   \rput(12.75,1.5){\rnode{G1}{}}
   \rput(12.75,-0.5){\rnode{G2}{}}
   \rput(12.75,-2.25){\rnode{G3}{}}
   \rput(15.75,1.5){\rnode{T1}{\parbox{4.8cm}{\center\red $P(S)= \newline P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)$}}}
   \rput(15.75,-1.5){\rnode{T2}{\parbox{4.8cm}{\center\textcolor{purple}{$P(\overline{S})=\newline P(A\cap \overline{S})+P(B\cap \overline{S})+P(C\cap \overline{S})$}}}
   \psset{nodesep=3pt,arrows=->,linecolor=red,linestyle=dashed}
      \ncarc[arcangle=50]{F1}{T1}
      \ncarc[arcangle=-30]{F2}{T1}
      \ncarc[arcangle=-20]{F3}{T1}
   \psset{nodesep=3pt,arrows=->,linecolor=purple,linestyle=dashed}
      \ncarc[arcangle=20]{G1}{T2}
      \ncarc[arcangle=30]{G2}{T2}
      \ncarc[arcangle=-50]{G3}{T2}}
\end{pspicture}
}

\end{poster}
\end{document}


