\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

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\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\newcommand{\syst}[3]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \\ #3 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\coor}[3]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \\#3\end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module
\newcommand{\cnp}[2]{\renewcommand{\arraystretch}{1}\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=6,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=green, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Espace.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Géométrie dans l'espace}}{\footnotesize Terminale S} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------

\headerbox{\bf Règles d'incidence} %%%%%%%
{name=inc,column=0,span=6}
{
\begin{itemize}
   \item Si une droite $(d)$ est parallèle à une droite $(\delta)$ d'un plan $\mathcal{P}$, alors la droite $(d)$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$
   \item Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles
    \item Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles
    \item Si deux droites sécantes d'un plan $\mathcal{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $\mathcal{Q}$, alors les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont parallèles
    \item Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles
   \item Une droite $(d)$ est perpendiculaire à un plan $\mathcal{P}$ si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan $\mathcal{P}$. Elle est alors orthogonale à toutes les droites de ce plan. Un vecteur $\V{n}$ qui dirige $(d)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$
   \item Théorème du toit : si une droite $(d)$ est parallèle à deux plans sécants $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$, alors $(d)$ est parallèle à la droite $(\delta)$ d'intersection de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{Q}$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Illustrations des quatre dernières règles} %%%%%%%
{name=rep,column=0,span=6,below =inc}
{
{\psset{unit=0.7}
\footnotesize
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(5.75,5.5)
   \psline[linecolor=red](0.5,0)(2.9,2)
   \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.9,2)(4,3)
   \rput(1.55,0.3){\textcolor{red}{$(d_1)$}}
   \psline[linecolor=blue](1.3,2)(4.25,0.75)
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.75,2.25)(1.3,2)
   \rput(3.95,1.3){\textcolor{blue}{$(\delta_1)$}}
   \psline[linecolor=red](0.5,2)(4,5)
   \rput(1.55,2.3){\textcolor{red}{$(d_2)$}}
   \psline[linecolor=blue](0.75,4.25)(4.25,2.75)
   \rput(3.95,3.35){\textcolor{blue}{$(\delta_2)$}}
   \psline(0.7,2)(0,0)(4,0)(5,3)(4.5,3)
   \psline[linestyle=dotted](4.5,3)(1,3)(0.7,2)
   \rput(0.5,0.4){$\mathcal{P}$}
   \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
   \rput(1.2,4.6){$\mathcal{Q}$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(0,0.2)(5,6) % plan coupant deux plans
   \psline(0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,3.7)
   \psline[linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
   \rput(0.5,1.4){$\mathcal{P}$}
   \psline(1.8,5)(1,5)(0,2)(4,2)(5,5)(2.5,5)
   \psline[linestyle=dotted](1.8,5)(2.5,5)
   \rput(1.2,4.6){$\mathcal{Q}$}
   \psline[linecolor=red](3.17,1)(3,0.5)(1,2.5)(2,5.5)(2.5,5)
   \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](2.5,5)(4,3.5)(3.17,1)
   \rput(1.4,2.7){\textcolor{red}{$\mathcal{R}$}}
   \psline[linecolor=blue](2.3,0.5)(2.8,2)
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.8,2)(3.7,4.7)
   \rput(3.95,4.3){\textcolor{blue}{$(d)$}}
   \psline[linecolor=blue](1.3,1.5)(2.7,5.7)
   \rput(2.95,5.3){\textcolor{blue}{$(\delta)$}}
\end{pspicture}
{\psset{unit=1.3}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,3.3) % droite orthogonale
   \pspolygon(0,0)(4,0)(5,2)(1,2)  
   \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$\mathcal{P}$}}
   \psline[linecolor=red](2.5,1)(2.5,3.5)
   \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.5,0.9)(2.5,-0.1)
   \psline[linecolor=red](2.5,0)(2.5,-0.5)
   \psline[linecolor=red,linewidth=0.05cm]{->}(2.5,1)(2.5,2.5)
   \rput(2.2,3.2){\textcolor{red}{$(d)$}}
   \rput(2.75,1.75){\textcolor{red}{$\V{n}$}}
   \psline[linecolor=blue](1,0.5)(4,1.5)
   \psline[linecolor=blue](1.5,1.5)(3.5,0.5)
   \psline[linecolor=red](2.5,1.2)(2.65,1.1)(2.65,0.92)
   \psline[linecolor=red](2.5,1.2)(2.7,1.3)(2.7,1.05)
\end{pspicture}}
\begin{pspicture}(-1,-1.3)(6,3.7) % théorème du toit
   \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3) 
   \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1,3)(2,1)(4.4,1)
   \psline[linecolor=red](4.4,1)(6,1)(5,3)
   \rput(0.5,0.3){\blue$\mathcal{P}$}
   \rput(5.5,1.3){\red$\mathcal{Q}$}
   \psline(-0.5,3)(6.5,3)
   \rput(6,3.3){$(\delta)$}
   \psline(-0.5,-0.5)(6.5,-0.5)
   \rput(6,-0.2){$(d)$}
\end{pspicture}}
}

\headerbox{\bf Vecteurs} %%%%%%%
{name=vec,column=0,span=3,below=rep}
{
\begin{itemize}
   \item Relation de Chasles : $\V{AB}+\V{BC}= \V{AC}$
   \item $\V{u} =\V{v} \iff \syst{x=x'}{y=y'}{z=z'}$ \, ; \, $\V{AB}\coor{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}$ \smallskip
   \item $||\V{u}|| =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ \smallskip
   \item $\V{u}$ et $\V{v}$ colinéaires $\iff  \V{u} =k\V{v}$ ou $\V{v} =k\V{u}$
   \item  $\V{u}, \V{v}, \V{w}$ coplanaires $\iff \V{w} =\lambda\V{u}+\mu\V{v}$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Produit scalaire} %%%%%%%
{name=prs,column=0,span=3,below =vec,above=bottom}
{
Écritures :
\begin{itemize}
   \item $\V{u}.\V{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\V{u}+\V{v}||^2-||\V{u}||^2-||\V{v}||^2 \right)$ \smallskip
   \item $\V{u}.\V{v}=xx'+yy'+zz'$
   \item $\V{u}.\V{v}=||\V{u}||\times||\V{v}||\times\cos(\V{u},\V{v})$ \smallskip
   \item $\V{u}.\V{v}=\V{OA}.\V{OB} =\V{OA}.\V{OH}$ où $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(OA)$
\end{itemize} \medskip
Propriétés :
\begin{itemize}
   \item $\V{u}$ et $\V{v}$ sont orthogonaux $\iff \V{u}.\V{v}=0$
   \item Deux droites $(d)$ et $(\delta)$ de vecteurs normaux $\V{n}$ et $\V{n'}$ sont orthogonales $\iff \V{n}.\V{n'} =0$
   \item Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$ de vecteurs normaux $\V{n}$ et $\V{n'}$ sont parallèles ou confondus $\iff \V{n} =k\V{n'}$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Coplanarité} %%%%%%%
{name=cop,column=3,span=3,below =rep}
{
Des points ou des droites ou des vecteurs sont coplanaires s'ils sont inclus dans le même plan 
}

\headerbox{\bf Équations de droites et de plans} %%%%%%%
{name=equ,column=3,span=3,below =cop,above=bottom}
{
Écriture vectorielle :
\begin{itemize}
   \item $\V{AM} =t\V{u}$ : droite passant par $A$ de vecteur direct. $\V{u}$
   \item $\V{AM} =t\V{u}+t'\V{v}$ : plan passant par $A$ de vecteurs directeurs $\V{u}$ et $\V{v}$ non colinéaires 
   \item $\V{AM}. \V{n} =0$ : plan passant par $A$ de vecteurs normal $\V{n}$
\end{itemize} \medskip
Représentations paramétriques :
\begin{itemize}
   \item Droite $(d)$ passant $A$ et de vecteur directeur $\V{u}$ : \\
   $\syst{x= x_A+ta}{y=  y_A+tb}{z=  z_A+tc}$ avec $\V{u}\coor{a}{b}{c}, t\in\R$
   \item Plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ dirigé par $\V{u}$ et $\V{v}$ : \\
   $\syst{x=  x_A+ta+t'a'}{y=  y_A+tb+t'b'}{z=  z_A+tc+t'c'}$  avec $\V{u}\coor{a}{b}{c} \V{v}\coor{a'}{b'}{c'} t,t'\in\R$
\end{itemize} \medskip
Equation cartésienne d'un plan de vecteur normal  $\V{n}$ : \\
$ax+by+cz+d =0$ où $\V{n}\coor{a}{b}{c}$
}

\end{poster}
\end{document}


