\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

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\frenchbsetup{StandardLists=true}
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\usepackage{xlop}
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\usepackage{pifont}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{palatino}
\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pstricks-add}

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{\text{e}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=4,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=red, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Expo_ln.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Exponentielle et logarithme}}{\footnotesize Terminale S} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------

\headerbox{\bf Courbes représentatives} %%%%%%%
{name=grap,column=1,span=2}
{
   \psset{unit=0.8}
   \begin{pspicture*}(-5,-4)(6,5)
      \psset{algebraic=true}
      \mili{-5}{-4}{6}{5}
      \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-3.99)(6,5)
      \rput(-0.3,-0.3){\scriptsize$0$}
      \psplot[linecolor=red,plotpoints=500]{0.01}{6}{ln(x)}
      \rput{10}(5,2.2){\textcolor{red}{$y=\ln(x)$}}
      \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1)(0,1)
      \psplot[linecolor=red,plotpoints=500]{0.015}{12}{ln(x)}
      \psdot[linecolor=red,linewidth=2pt](1,0)
      \psdot[linecolor=red,linewidth=2pt](2.72,1)
      \rput(2.72,-0.5){\red{e}}
      \psplot[plotpoints=500,linecolor=blue]{-6}{2}{EXP(x)}
      \rput{73}(1.8,4){\textcolor{blue}{$y=\exp(x)$}}
      \psdot[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,2.718)
      \psline[linestyle=dashed, linecolor=blue](1,0)(1,2.718)(0,2.718)
      \psdot[linecolor=blue,linewidth=2pt](0,1)
      \rput(-0.5,2.6){\textcolor{blue}{$\e$}}
      \psline(-3.1,-3.1)(5,5)
   \end{pspicture*}
   \vspace*{-0.5cm}
}

\headerbox{\bf Fonction exponentielle} %%%%%%%
{name=expo,column=0,span=1,bottomaligned=grap}
{
$f(x) =\exp(x) =\e^x$ \\
définie sur $\R$ \\
à valeurs dans $]\,0\,;\,+\infty\,[$ \\ [5mm]
$\e^0 =1$ \\
$\e^1 =\e \approx 2,718$ \\ [5mm]
$(\e^x)' =\e^x$ \\
$(\e^u)' =u'\e^u$ \\ [5mm]
$\lim\limits_{x\to-\infty}\e^x =0^+$ \\
$\lim\limits_{x\to+\infty}\e^x =+\infty$ 
}

\headerbox{\bf Fonction logarithme} %%%%%%%%%
{name=loga,column=3,span=1,bottomaligned=grap}
{
$f(x) =\ln(x)$ \\
définie sur $]\,0\,;\,+\infty\,[$ \\
à valeurs dans $\R$ \\ [5mm]
$\ln(1)=0$ \\
$\ln(\e)=1$ \\ [5mm]
$(\ln(x))' =\dfrac{1}{x}$ \\
$(\ln(u))' =\dfrac{u'}{u}$ \\ [5mm]
$\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x) =-\infty$ \\
$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x) =+\infty$ 
}

\headerbox{\bf Propriétés des exponentielles} %%%%%%
{name=proe,column=0,span=2,below=expo}
{
$a$, $b$ et $n$ sont des réels :
\begin{itemize}
   \item Produit : \hspace{1.34cm} $\e^a\times e^b =\e^{a+b}$ \smallskip
   \item Inverse : \hspace{1.39cm} $\dfrac{1}{\e^a}=\e^{-a}$ \smallskip
   \item Quotient : \hspace{1.14cm} $\dfrac{\e^a}{\e^b}=\e^{a-b}$ \medskip
   \item Puissance : \hspace{1cm} $(\e^a)^n=\e^{an}$ \smallskip
   \item Racine carrée : \hspace{.45cm} $\e^{\frac12} =\sqrt{\e}$ \smallskip
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Propriétés des logarithmes} %%%%%%
{name=prol,column=2,span=2,below=grap,bottomaligned=proe}
{
$a$ et $b$ sont des réels strictement positifs, $n$ est un réel :
\begin{itemize}
   \item Produit : \hspace{1.34cm} $\ln(ab) =\ln(a)+\ln(b)$ \smallskip
   \item Inverse : \hspace{1.39cm} $\ln\left(\dfrac{\footnotesize\text{1}}a\right)= -\ln(a)$ \medskip
   \item Quotient : \hspace{1.14cm} $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ \medskip
   \item Puissance : \hspace{1cm} $\ln\left(a^n\right)=n\ln(a)$ \smallskip
   \item Racine carrée : \hspace{.45cm} $\ln\left(\sqrt{a} \smallskip\right)=\dfrac{\footnotesize\text{1}}{\footnotesize\text{2}}\ln(a)$
   \end{itemize}
}

\headerbox{\bf Lien exponentielle et logarithme}
{name=lien,column=0,span=4,below=proe}
{
   La fonction exponentielle (de base $\e$) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques :  leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la première bissectrice ($y=x$)
\begin{itemize}
   \item $\ln(\exp x) =x$ \hspace{2.5cm} $\ln(\e^x) =x$ \smallskip
   \item $\exp(\ln x) =x$ \hspace{2.5cm} $\e^{\ln(x)} =x$ \smallskip
   \item $\exp x =y \iff x =\ln(y)$ \hspace{0.63cm} $\e^x =y \iff x =\ln(y)$
   \item $x^y =\exp(y\ln(x))$\hspace{1.95cm} $x^y =\e^{y\ln(x)}$
\end{itemize} 
}

\headerbox{\bf Équations et d'inéquations avec des exponentielles}
{name=rese,column=0,span=2,below=lien}
{
$u, v$ sont des réels, $\lambda$ est un réel strictement positif :
\begin{itemize}
   \item $\e^u=\e^v \iff u=v$ \qquad $\e^u= \lambda \iff u=\ln(\lambda)$ \smallskip
   \item $\e^u>\e^v \iff u>v$ \qquad $\e^u> \lambda \iff u>\ln(\lambda)$ \smallskip
   \item $\e^u\leq\e^v \iff u\leq v$ \qquad $\e^u\leq \lambda \iff u\leq\ln(\lambda)$\smallskip
   \item $\e^u\leq0$ impossible \; et \; $\e^u>0$ toujours vrai
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Équations et d'inéquations avec des logarithmes}
{name=resi,column=2,span=2,below=lien,bottomaligned=rese}
{
$u, v$ sont des réels strictement positifs, $\lambda$ est un réel :
\begin{itemize}
   \item $\ln(u)=\ln(v) \iff u=v$ \qquad $\ln(u)= \lambda \iff u=\e^\lambda$ \smallskip
   \item $\ln(u)>\ln(v) \iff u>v$ \qquad $\ln(u)> \lambda \iff u>\e^\lambda$ \smallskip
   \item $\ln(u)\leq\ln(v) \iff u\leq v$ \qquad $\ln(u)\leq \lambda \iff u\leq\e^\lambda$\smallskip 
   \item $\ln(u)\leq0 \iff 0<u\leq1$ \; et \; $\ln(u)>0 \iff u>1$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Croissance comparée et limites particulières}
{name=part,column=0,span=4,below=rese,above=bottom}
{
$\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x =0$ \quad $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} =+\infty$ \qquad $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x} =1$ \qquad $\lim\limits_{x\to0+}x\ln(x) =0$ \qquad $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} =0$ \qquad $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} =1$ 
}

\end{poster}
\end{document}






