\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

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\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pstricks-add}

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=4,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=red, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Integrale.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Dérivation et intégration}}{\footnotesize Terminale S} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------
\headerbox{\bf Dérivée et tangente} %%%%%%%
{name=der,column=0,span=2}
{
Nombre dérivé de $f$ en $a : f'(a) =\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ \\ [1mm]
Tangente au point $A(a, f (a)) : y = f'(a)(x-a)+f(a)$
}

\headerbox{\bf Primitive} %%%%%%%%%
{name=prim,column=2,span=2,bottomaligned=der}
{
Primitive de $f$ sur $I$ : fonction $F$ continue, dérivable sur $I$ telle que $F'(x)=f(x)\text{ pour tout } x\in I$
}

\headerbox{\bf Tableau dérivée-primitive}
{name=tab,column=0,span=4,below=der}
{
Sous condition d'existence des fonctions :
\psarc{->}(-1.75,-1.25){0.65}{90}{-90}
\rput(-1.9,-1.25){\scriptsize\it dérivée}
\psarc{->}(-5,-3.25){0.65}{90}{-90}
\rput(-5.15,-3.25){\scriptsize\it dérivée}
\psarc{->}(10.85,-1.25){0.65}{-90}{90}
\rput(10.9,-1.25){\scriptsize\it primitive}
\psarc{->}(10.85,-3.25){0.65}{-90}{90}
\rput(10.9,-3.25){\scriptsize\it primitive}
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|c|c|*{8}{c|}}
   \cline{3-10}
   \multicolumn{2}{c|}{} & $k$ & $x^n$ & $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\e^x$ & $\ln(x)$ & $\cos(x)$ & $\sin(x)$ \\ [1mm] 
   \cline{3-10}
   \multicolumn{2}{c|}{} & $0$ & $n\,x^{n-1}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\e^x$ & $\dfrac{1}{x}$ & $-\sin(x)$ & $\cos(x)$ \\ [1.5mm]
   \cline{3-10}
   \hline
   $u+v$ & $u\times v$ & $ku$ & $u^n$ & $\sqrt{u}$ & $\dfrac{u}{v}$ & $\e^u$ & $\ln(u)$ & $\cos(u)$ & $\sin(u)$ \\ [1mm]
   \hline
   $u'+v'$ & $u'v+uv'$ & $ku'$ & $nu'u^{n-1}$ & $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & $u'\,\e^u$ & $\dfrac{u'}{u}$ & $-u'\sin(u)$ & $u'\cos(u)$ \\ [1.5mm]
   \hline
\end{tabular}}
\smallskip
\end{center}
}

\headerbox{\bf Propriétés des primitives} %%%%%%
{name=prop,column=2,span=2,below=tab}
{
\begin{itemize}
   \item Toute fonction continue admet des primitives
   \item Primitives de $f$ : fonctions $G$ telles que $G(x) =F(x)+k$
   \item Si de plus $F(x_0) =y_0$, la primitive est unique
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Variations d'une fonction} %%%%%%
{name=var,column=0,span=2,below=tab,bottomaligned=prop}
{
\begin{itemize}
   \item $f$ croissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\geqslant0$ pour tout $x\in I$
   \item $f$ décroissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\leqslant0$ pour tout $x\in I$
   \item $f$ constante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout $x\in I$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Intégrale}
{name=int,column=0,span=4,below=var}
{
\begin{multicols}{2}
Intégrale de $f$ positive sur $[a,b]$ : aire du domaine délimité par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. \\
On note cette intégrale : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x$ \\ [1mm]
L'aire est exprimée en unités d'aire (u.a.) qui correspond à l'aire du rectangle de côtés OI et OJ \\
Si $f$ est négative, l'aire vaut $-\displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x$ 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.15)(3,3.15)
   %\mili{-4}{-1}{3}{3}
   \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,algebraic=true,linecolor=gray]{\psline(-3,0)(-3,1.75)\psplot{-3}{2}{0.125*x^3+0.125*x^2-x+1}\psline(2,0.5)(2,0)}
   \psplot[linecolor=red,algebraic=true]{-4}{3}{0.125*x^3+0.125*x^2-x+1}
   \psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-4,-1)(3,3)
   \rput(-1.7,1){$\displaystyle{\int_a^b f(x)\text{d}x}$}
   \psline[linestyle=dashed](-3,-0.5)(-3,2.5)
   \psline[linestyle=dashed](2,-0.5)(2,1.5)
   \psframe[fillstyle=vlines](1,2)(2,3)
   \rput(-2.4,-0.7){$x=a$}
   \rput(2.6,-0.7){$x=b$}
   \rput(-0.3,-0.3){\small$O$}
   \rput(1,-0.4){\small I}
   \rput(-0.4,1){\small J}
   \rput(1.5,1.7){1u.a.}
   \rput(2.6,2.5){\red$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
}

\headerbox{\bf Calcul d'intégrales} %%%%%%%%%%%%%
{name=calc,column=0,span=2,below=int,above=bottom}
{
\begin{itemize}
   \item Soit $f$ continue positive sur $[\,a\,;\,b\,]$, la fonction $F$ définie sur $[\,a\,;\,b\,]$ par $F(x) =\displaystyle{\int_a^x f(t)\,\text{d}t}$ est dérivable de dérivée $F'(x) =f(x)$
   \item $\displaystyle{\int_a^b f(x)dx =\left[F(x)\right]_a^b =F(b)-F(a)}$
   \item Valeur moyenne de $f$ sur $[\,a\,;b\,] : \mu =\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\text{d}x}$ \\
   \psset{unit=0.55}
   \begin{pspicture}(-1.75,-1)(5,4.2)
      %\mili{-2}{-1}{5}{4}
      \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,linecolor=gray]{\psplot{-1}{4}{2 x add 180 mul 3.14 div sin 2 add}\psline(4,1.8)(4,0)(-1,0)(-1,2.9)}
      \psplot[linecolor=red]{-2}{5}{2 x add 180 mul 3.14 div sin 2 add}
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(5,4)
      \rput(-1.1,-0.4){$a$}
      \rput(4,-0.4){$b$}  
      \rput(4.6,1.3){\blue$\mu$} 
      \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-2,1.92)(5,1.92)             
   \end{pspicture}
   \quad 
   \begin{pspicture}(-2,-1)(5,4.2)
      %\mili{-2}{-1}{5}{4}
      \rput(-1.1,-0.4){$a$}
      \rput(4,-0.4){$b$}  
      \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,linecolor=gray](-1,0)(4,1.92)
      \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-2,1.92)(5,1.92)   
      \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(5,4)         
   \end{pspicture}
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Propriétés des intégrales} %%
{name=pro,column=2,span=2,below=int,bottomaligned=cont,above=bottom}
{
$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[\,a\,;\,b\,]$ :
   \smallskip
   \begin{itemize}
      \item $\displaystyle{\int_a^b f(x)+g(x)\,\text{d}x =\int_a^b f(x)\,\text{d}x+\int_a^b g(x)\,\text{d}x}$
      \smallskip
      \item $\displaystyle{\int_a^b\lambda f(x)\,\text{d}x =\lambda \int_a^bf(x)\,\text{d}x}$
      \smallskip
      \item $f(x)\geq0 \Longrightarrow \displaystyle{\int_a^bf(x)\,\text{d}x\geq 0}$
      \smallskip
      \item $f(x)\leq g(x) \Longrightarrow \displaystyle{\int_a^bf(x)\,\text{d}x\leq \int_a^bg(x)\,\text{d}x}$
      \smallskip
      \item Relation de Chasles : \\ [1mm]
      $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,\text{d}x =\int_a^cf(x)\,\text{d}x+\int_c^bf(x)\,\text{d}x}$
   \end{itemize}
}


\end{poster}
\end{document}






