\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

%\usepackage{etex}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{xlop}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{palatino}
\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\RequirePackage{pst-all, pstricks-add,pst-eucl,pst-solides3d,pst-fun,pst-plot}


\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=4,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=red, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Limites.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Limites et continuité}}{\footnotesize Terminale S} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------
\headerbox{\bf Asymptote horizontale} %%%%%%%
{name=ahori,column=0,span=2}
{
{\psset{yunit=0.8}
\begin{pspicture*}(-1,-3.5)(9,1.8)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(6,1.5)
   \rput(-0.2,-0.3){\scriptsize{O}}
   \rput(6.2,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(-0.3,1.3){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,linecolor=yellow](2.47,-2)(6,-1.3)
   \rput(5.3,-1){\footnotesize{$x\to+\infty$}}
   \rput(6.5,-1){\footnotesize{$\red f(x)$}}
   \rput(6.5,-1.5){\footnotesize{$\downarrow$}}
   \rput(6.5,-2){\footnotesize{$\blue\ell$}}
   \psplot[linecolor=red,plotpoints=1000]{1.3}{6}{1 x -1 add div -2 add}
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,-2)(6,-2)
   \rput(-.3,-2){\blue{{$\ell$}}}
   \rput(4.2,-2.8){$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) =\ell$}
\end{pspicture*}} \\
Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) =\ell$, la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ ou $-\infty$
}

\headerbox{\bf Asymptote verticale} %%%%%%%%%
{name=aver,column=2,span=2,bottomaligned=ahori}
{
{\psset{yunit=0.75}
\begin{pspicture}(-1.5,-4.5)(6,1.2)
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-3.5)(5.5,1)
   \rput(5.7,0){\footnotesize{$x$}}
   \rput(-0.3,0.8){\footnotesize{$y$}}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,linecolor=yellow](1,-1.6)(1.45,-3.5)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linecolor=red]{1.22}{5.5}{-1/(x-1)+1}
   \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](1.1,0)(1.1,-3.5)
   \rput(1.1,0.3){\blue$a$}
   \rput(1.5,-4){\footnotesize{$a\leftarrow\blue x$}}
   \rput(2,-2.2){\footnotesize{$\red f(x)$}}
   \rput(2,-2.7){\footnotesize{$\downarrow$}}
   \rput(2,-3.2){\footnotesize{$-\infty$}}
   \rput(4.2,-2.2){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}} \\
Si $\lim \limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$
}

\headerbox{\bf Limites des fonctions usuelles}
{name=usu,column=0,span=4,below=ahori}
{
{\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(3.5,7) %carré
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-1)(3,6.5)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-2.5}{2.5}{x^2}
   \rput(0,-1.5){carré}
   \rput(-2.5,6.5){\footnotesize$\lim\limits_{x\to -\infty}{x^2}= +\infty$}
   \rput(2.5,6.5){\footnotesize$\lim\limits_{x\to +\infty}{x^2}= +\infty$}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-2.5,-5)(2.5,4) %cube
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-2,-3.3)(2,3.3)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-1.5}{1.5}{x^3}
   \rput(0,-4.5){cube}
   \rput(-2,-3.8){\footnotesize$\lim\limits_{x\to -\infty}{x^3}= -\infty$}
   \rput(1.5,3.75){\footnotesize$\lim\limits_{x\to +\infty}{x^3}= +\infty$}
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-3,-5)(3,4) %inverse
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3.5)(3,3.5)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-3}{-0.3}{1/x}
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{3}{0.3}{1/x}
   \rput(0,-4.5){inverse}
   \rput(-2.5,-3.5){\footnotesize$\lim\limits_{x\to 0^-}{\dfrac{1}{x}}= -\infty$}
   \rput(2.5,3.5){\footnotesize$\lim\limits_{x\to 0^+}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$}
   \rput(-2.2,0.8){\footnotesize$\lim\limits_{x\to -\infty}{\dfrac{1}{x}}=0^-$}
   \rput(2.2,-0.8){\footnotesize$\lim\limits_{x\to +\infty}{\dfrac{1}{x}}=0^+$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-4,-2.4)(3.5,6) %exponentielle
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-1)(3,6)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{-3}{1.7}{EXP(x)}
   \rput(0,-2){exponentielle}
   \rput(2.4,6){\footnotesize$\lim\limits_{x\to+\infty}e^x= +\infty$}
   \rput(-2.2,-0.8){\footnotesize$\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0^+$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1.5,-5)(3,4) %logarithme
   \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-3.5)(5,3.5)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linecolor=red]{0.04}{5}{ln(x)}
   \rput(2,-4.5){logarithme}
   \rput(2.6,-3.1){\footnotesize$\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)= -\infty$}
   \rput(2.9,2.2){\footnotesize$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)= +\infty$}
\end{pspicture}}
}

\headerbox{\bf Opérations sur les limites} %%%%%%
{name=ope,column=0,span=2,below=usu}
{
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|*{9}{c|}}
   \hline  
   $\lim f$ & $0$ & $0$ & $\infty$ & $0$ & $\ell$ & $\ell$ & $\infty$ & $\infty$ \\ 
   \hline  
   $\lim g$ & $0$ & $\infty$ & $0$ & $\ell$ & $0$ & $\infty$ & $\ell$ & $\infty$ \\ 
   \hline
   \hline
   $\lim (f+g)$ & $0$ & $\infty$ & $\infty$ & $\ell$ & $\ell$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$/FI \\ 
   \hline 
   $\lim (f\times g)$ & $0$ & FI & FI & $0$ & $0$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ \\ 
   \hline
   $\lim (f\div g)$ & FI & $0$ & $\infty$ & $0$ & $\infty$ & $0$ & $\infty$ & FI \\ 
   \hline
\end{tabular} \\
\smallskip
$\ell\neq0$, règle des signes pour les résultats \og $\infty$ \fg
\end{center}
}

\headerbox{\bf Théorèmes de comparaison} %%%%%%
{name=comp,column=2,span=2,below=usu,bottomaligned=ope}
{
$f, g, h$ sont trois fonctions. Si, pour tout $x\in[a,+\infty[$ :
\smallskip
\begin{itemize}
   \item $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) =+\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) =+\infty$ \\ [-3mm]
   \item $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x) =-\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) =-\infty$ \\ [-3mm]
   \item théorème des gendarmes : $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et \\
   $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) =\lim\limits_{x\to+\infty}h(x) =\ell \Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) =\ell$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Limites particulières}
{name=part,column=0,span=4,below=ope}
{
$\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x =0$ \quad $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} =+\infty$ \qquad $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x} =1$ \qquad $\lim\limits_{x\to0+}x\ln(x) =0$ \qquad $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} =0$ \qquad $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} =1$
}

\headerbox{\bf Fonctions composées} %%%%%%%%%%%%%
{name=uov,column=0,span=1,below=part,above=bottom}
{
\begin{pspicture}(0,0.2)(4,1.5)
   \rput(2,1.2){$x \stackrel{f}{\longmapsto} f(x) \stackrel{g}{\longmapsto} g\left(f(x)\right)$}
   \psline[linewidth=0.18mm]{->}(0.3,0.9)(0.3,0.6)(3.15,0.6)(3.15,0.9)
   \rput(1.7,0.4){\small$g\circ f$}
\end{pspicture}
si $\Syst{\lim\limits_{x\to a} f(x)=\ell}{\lim\limits_{X\to \ell} g(X)=L}$ \\ [2mm]
alors $\lim\limits_{x\to a} g(f(x))=L$
}

\headerbox{\bf Théorème des valeurs intermédiaires} %%
{name=tvi,column=1,span=3,below=part,bottomaligned=cont,above=bottom}
{
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
{\psset{yunit=0.6cm} 
\begin{pspicture}(-2.5,-1.2)(3.5,4.7)
\begin{footnotesize}
   \def\f{.375*x^3-.84375*x^2-1.125*x+3.375}
   \uput[dl](0,0){O}
   \uput[d](3.4,0){$x$}
   \uput[l](0,4.4){$y$}
   \psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-2.5,-1)(3.5,4.5)
   \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=red]{-2.04}{3.39}{\f}
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0,-0.75)(-2,-0.75)(-2,0)
   \psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.15,2.5)(3,2.5)(3,0)
   \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{|-|}(-2,1.5)(3,1.5)
   \uput[ul](0,1.5){\textcolor{blue}{$k$}}
   \uput[u](-2,0){\textcolor{blue}{$a$}}
   \uput[r](0,-.75){\textcolor{blue}{$f(a)$}}
   \uput[d](3,0){\textcolor{blue}{$b$}}
   \uput[l](0,2.5){\textcolor{blue}{$f(b)$}}
   \psdots[linecolor=blue](-2,-0.75)(3,2.5)
   \psdots[linecolor=blue](-1.6,1.5)(1.16,1.5)(2.67,1.5)  
\end{footnotesize}
\end{pspicture}}
\end{center}
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[\,a\,;\,b\,]$ alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution $\alpha\in[\,a\,;\,b\,]$ \\ [1mm]
Si de plus $f$ est strictement monotone, $\alpha$ est unique
\end{multicols}
}


\end{poster}
\end{document}


