\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

\usepackage[utf8]{inputenc} % encodage
\usepackage[T1]{fontenc} % police
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage{graphicx} % insertion d'images
\usepackage{amsmath} % pour écrire des maths
\usepackage{amssymb} % symboles
\usepackage{xlop}
\usepackage{booktabs} % Filets haut et bas pour les tableaux
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumitem} % réduction et agrandissement de l'espace pour itemize/enumerate
\usepackage{palatino} % Police palatino
\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption} % légendes des tableaux et figures
\usepackage{multicol} % Multi colonage
\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks} % dessins vectoriels
\usepackage{pst-plot}

\graphicspath{{Images/}} % répertoire des images
\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites none, closed ou open
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=2,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=red, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Suites.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Suites numériques}}{\footnotesize Terminale S} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath2.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Généralités
%---------------------
\headerbox{\bf Variations}
{name=variations,column=1,span=1}
{
\begin{itemize}
   \item Si pour tout $n, u_{n+1}-u_{n}>0$ ou $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante
    \item Si pour tout $n, u_{n+1}-u_{n}<0$ ou $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$, alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Définition}
{name=definitions,column=0,span=1,bottomaligned=variations}
{
Une suite $(u_n)$ peut-être définie :
\begin{itemize}
   \item de manière explicite : $u_n =f(n)$
   \item de manière récurrente : $\Syst{u_0}{u_{n+1} =f(u_n)}$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Suites géométriques}
{name=sgeo,column=1,span=1,below=variations}
{
Récurrence : $u_{n+1} =q\times u_n$ (de raison $q$) \\
Explicite : $u_n =u_0\times q^n$ ou $u_n =u_p\times q^{(n-p)}$ \\ [1mm]
Somme : {\small premier terme} $\times \dfrac{1-q^{\text{nbre termes}}}{1-q}$ \\
$S_n =1+\dots+q^n =\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
}

\headerbox{\bf Suites arithmétiques}
{name=sari,column=0,span=1,below=definitions,bottomaligned=sgeo}
{
Récurrence : $u_{n+1} =u_n+r$ (de raison $r$) \\
Explicite : $u_n =u_0+nr$ ou $u_n =u_p+(n-p)r$ \\ [1mm]
Somme : {\small nbre termes $\times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$} \\ [1mm]
$S_n =u_0+\dots+u_n =(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}$
}

\headerbox{\bf Raisonnement par récurrence}
{name=recu,column=0,span=2,below=sgeo}
{
But : montrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\geq n_0$
\begin{itemize}
   \item Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang $n_0$
   \item Hérédité : on montre que si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est encore vraie au rang $n+1$
\end{itemize}
Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n\geq n_0$
}

\headerbox{\bf Limite finie (convergence)}
{name=finie,column=0,span=1,below=recu}
{
\psset{yunit=.5cm,xunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(22,7)
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(20.5,6.5)
   \def\f{3 3 0.8 neg x exp mul add}
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,linecolor=yellow](8,2.5)(20.5,3.5)
   \rput(21,0){$n$}
   \rput(0,6.8){$u_n$}
   \psplot[plotpoints=21,linecolor=blue,linestyle=none,showpoints=true]{0}{20}{\f}
   \psline[linestyle=dashed](8,0)(8,6)
   \rput(14,70){\red$n\geq N$}
   \psline[linestyle=dashed](0,85)(16,85)
   \psline[linestyle=dashed](0.05,2.5)(20.5,2.5)
   \psline[linestyle=dashed](0.05,3.5)(20.5,3.5)
   \psline[linecolor=blue](0,3)(20.5,3)
   \uput[l](0,3){\blue$\ell$}
   \rput(17,4.5){$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n =\ell$}
\end{pspicture}
Ex : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n} =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}} =0$, $\lim\limits_{n\to+\infty}(-1)^n$ n'existe pas
}

\headerbox{\bf Limite infinie (divergence)}
{name=infinie,column=1,span=1,below=recu,bottomaligned=finie}
{
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(13,3.5)
   \psset{xunit=0.5cm, yunit=.025cm}
   \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(16,130)
   \def\f{.5 x mul x mul x add 1 add }
   \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow=red,linecolor=yellow](12,130)(16,85)
   \rput(16.3,0){$n$}
   \rput(0,135){$u_n$}
   \psplot[plotpoints=17,linecolor=blue,linestyle=none,showpoints=true]{0}{15}{\f}
   \psline[linestyle=dashed](12,0)(12,130)
   \psline[linestyle=dashed](0,85)(16,85)
   \rput(9,105){$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n =+\infty$}
\end{pspicture}
Ex : $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n} =\lim\limits_{n\to+\infty}n^2 =\lim\limits_{n\to+\infty}n^3 =+\infty$
}

\headerbox{\bf Théorèmes de comparaison}
{name=comp,column=0,span=1,below=finie}
{
$(u_n), (v_n), (w_n)$ sont trois suites. Si à partir d'un rang :
\begin{itemize}
   \item $u_n\leq v_n$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n =+\infty \Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}v_n =+\infty$
   \smallskip
   \item $u_n\leq v_n$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n =-\infty \Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}u_n =-\infty$
   \smallskip
   \item $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors \\
   $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n =\lim\limits_{n\to+\infty}w_n =\ell \Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}v_n =\ell$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Limites d'une suite géométrique}
{name=limgeo,column=1,span=1,below=infinie,bottomaligned=comp}
{
\medskip
\begin{itemize}
   \item Si $q\leq -1$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n$ n'existe pas \smallskip
   \item Si $-1<q<1$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n =0$ \smallskip
   \item Si $q=1$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n =1$ \smallskip
   \item Si $q\geq1$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n =+\infty$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Convergence d'une suite monotone}
{name=conv,column=0,span=2,below=comp,above=bottom}
{
Une suite $(u_n)$ est majorée [resp. minorée] si, et seulement si, il existe un réel $M$ [resp. $m$] tel que pour tout $n\in\mathbb{N}, u_n\leq M$ [resp. $u_n\geq m$]. Si la suite est à la fois minorée et majorée, on dit qu'elle est bornée
\begin{itemize}
   \item Toute suite croissante et majorée converge, toute suite décroissante et minorée converge
   \item Une suite croissante de limite $\ell$ est majorée par $\ell$
\end{itemize}
}

\end{poster}
\end{document}


