\documentclass[a4paper,margin=1cm,fontscale=1]{baposter} % echelle de la police (initial à 0.285)

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\usepackage{enumitem}
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\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption}
\usepackage{multicol}
\usetikzlibrary{matrix,arrows,decorations.pathmorphing}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{fourier-orns}

\setlength{\columnsep}{5mm} % espace entre les colonnes à l'intérieur des cadres
\setlength{\columnseprule}{0mm} % largeur du filet entre les colonnes
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{l} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\setitemize{label=\ding{71},leftmargin=5mm,itemsep=0mm,parsep=0mm,topsep=0mm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\newcommand{\mili}[4]{\psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.4pt,gridcolor=brown!80,subgridcolor=brown!40](#1,#2)(#3,#4)}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\e{{\text{e}}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow} % Vecteurs
\newcommand{\Repc}{(O;\V{u};\V{v})} % Repère Ouv
\newcommand{\Coor}[2]{\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}} % Coordonnées
\newcommand{\Ree}{\mathfrak{Re}} % partie réelle
\newcommand{\Ima}{\mathfrak{Im}} % partie imaginaire
\newcommand{\Abs}[1]{\left \lvert#1\right \rvert} % module
\newcommand{\cnp}[2]{\renewcommand{\arraystretch}{1}\begin{pmatrix} #1\\#2 \end{pmatrix}}

% l' unite
\newcommand{\myunit}{5mm}
\tikzset{
    node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit},
    node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit},
    arrow style mul/.style={sloped,midway,fill=gray!10},
    arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=gray!10},
}

\graphicspath{{Images/}}

\begin{document}


\begin{poster}
{
headerborder=open, % Ajout d'une bordure autour de l'entête des boites 
background=none, 
%bgColorOne=green, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté gauche de l'affiche
%bgColorTwo=yellow, % Couleur de fond pour le dégradé sur le côté droit de l'affiche
colspacing=6mm, % Espace entre les boites
columns=6,
borderColor=black, % Couleur des bordures de cadres
headerColorOne=darkgray, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté gauche)
headerColorTwo=violet, % Couleur de fond pour l'en-tête dans les boites (côté droit)
headerFontColor=white, % Couleur du texte de l'en-tête des boites
boxColorOne=gray!10, % Couleur de fond des boites
textborder=roundedleft, % Format des bordures : none, bars, coils, triangles, rectangle, rounded, roundedsmall, roundedright, faded
eyecatcher=true, % false pour supprimer le logo de gauche
headerheight=0.075\textheight, % Hauteur de l'en-tête
headershape=roundedright, % Format des bordures de l'entête : rectangle, small-rounded, roundedright, roundedleft or rounded
headerfont=\textsc\bf,% Police de l'en-tête : large, bold et sans serif %\textsc, 
textfont={\setlength{\parindent}{0em}}, % Indentation
linewidth=1pt % Largeur du filet des boites boxes
}
%----------------------------------------------------------------------
%	EN-TÊTE
%----------------------------------------------------------------------
{\mbox{}\hspace*{0.5cm}\includegraphics[height=2cm]{Matrices.eps}} %gauche
{\mbox{}{\Huge Matrices et suites}}{\footnotesize Terminale S - Spé} %titre
{\includegraphics[height=2cm]{Logo_Nath.eps}\hspace*{0.5cm}\mbox{}}%droite
% 

%---------------------
% Fiche
%---------------------

\headerbox{\bf Vocabulaire des matrices} %%%%%%%
{name=voc,column=0,span=6}
{
\begin{tabular}{C{4}C{3}cC{4}C{3}}
   matrice $m\times n$ & matrice ligne & matrice colonne & matrice diagonale & matrice unité \\
   $\begin{pmatrix}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
   \end{pmatrix}$
   &
   $\begin{pmatrix} 
      a_1 & a_2 & \cdots & a_n
   \end{pmatrix}$
   &
   $\begin{pmatrix} 
      a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m
   \end{pmatrix}$
   &
   $\begin{pmatrix}
      a_{11} &  0 & \cdots & 0 \\
      0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0 & 0 & \cdots & a_{nn}
   \end{pmatrix}$
   &
   $\begin{pmatrix}
      1 &  0 & \cdots & 0 \\
      0 & 1 & \cdots & 0 \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0 & 0 & \cdots & 1
   \end{pmatrix}$ \\
\end{tabular} \\
$A =(a_{ij})$ : matrice de coefficients $a_{ij}$ (ligne $i$, colonne $j$) \hfill $m =n$ : matrice carrée d'ordre $n$ \hfill matrice unité : $I_n$ ou $I$
}

\headerbox{\bf Opérations avec des matrices} %%%%%%%
{name=ope,column=0,span=6,below=voc}
{
\begin{minipage}{8cm}
$A =(a_{ij})$ est une matrice de dimension $m\times n$ \\
$B =(b_{ij})$ est une matrice de dimension $p\times q$ \\
Pour tout $1\leq i \leq m$ et $1\leq j \leq n$ :
\begin{itemize}
   \item $A = B \iff m =p \, ; \, n =q$ et $a_{ij} =b_{ij}$
   \item $C =A+B$ avec $m =p$ et $n =q : c_{ij} =a_{ij}+b_{ij}$ 
   \item $C =kA : c_{ij} =ka_{ij}$
   \item $C =A\times B : c_{ij} =\text{ ligne }i_{|A}\times\text{ colonne }j_{|B}$
   \item $A^n =\underbrace{A\times A\times\dots\times A}_{n\text{ fois}}$ si $n\neq0$ et $A^0 =I$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.7cm}
\begin{tikzpicture}
\matrix (A) [matrix of math nodes,nodes = {node style ge},left delimiter  = (,right delimiter = ),ampersand replacement=\&] at (0,0)
   {%
   a_{11} \& a_{12} \& \ldots \& a_{1n} \\
   \node[node style sp] (A-2-1) {a_{21}}; \& \node[node style sp] (A-2-2) {a_{22}}; \& \ldots \& \node[node style sp] (A-2-4) {a_{2n}}; \\
   \vdots \& \vdots \& \ddots \& \vdots  \\
   a_{m1} \& a_{m2} \& \ldots \& a_{mn}  \\
   };
\matrix (B) [matrix of math nodes,nodes = {node style ge},left delimiter  = (,right delimiter = ),ampersand replacement=\&] at (6.5*\myunit,5*\myunit)
   {%
      b_{11} \& \node[node style sp] (B-1-2) {b_{12}}; \& \ldots \& b_{1q} \\
      b_{21} \& \node[node style sp] (B-2-2) {b_{22}}; \& \ldots \& b_{2q} \\
     \vdots \& \vdots \& \ddots \& \vdots \\
     b_{n1} \& \node[node style sp] (B-4-2) {b_{n2}}; \& \ldots \& b_{nq} \\
   };
\matrix (C) [matrix of math nodes,nodes = {node style ge},left delimiter  = (,right delimiter = ),ampersand replacement=\&] at (6.5*\myunit,0)
   {%
      c_{11} \& c_{12} \& \ldots \& c_{1q} \\
      c_{21} \& \node[node style sp,red] (C-2-2) {c_{22}}; \& \ldots \& c_{2q} \\
      \vdots \& \vdots \& \ddots \& \vdots \\
      c_{m1} \& c_{m2} \& \ldots \& c_{mq} \\
   };
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north); % encadrement
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
\draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] node[arrow style mul] (x){\small$a_{21}\times b_{12}$} (B-1-2); %flèches
\draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90] node[arrow style mul] (y) {\small$a_{22}\times b_{22}$} (B-2-2);
\draw[<->,red](A-2-4) to[in=180,out=90] node[arrow style mul] (z) {\small$a_{2n}\times b_{n2}$} (B-4-2);
\draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {$+$} (y) to node[arrow style plus] {$+\raisebox{.5ex}{\ldots}+$} (z) to (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.7cm}
$(kA)B =k(AB)$ \\
$ABC =(AB)C$ \\
\hspace*{0.84cm} $=A(BC)$ \\
$A(B+C) =AB+BC$ \\
$(A+B)C =AC+BC$ \\
$AI =IA =A$ \\ [3mm]
{\red {\large\danger} en général : \\
\red $AB \neq BA$}
\end{minipage}
}

\headerbox{\bf Inverse d'une matrice} %%%%%%%
{name=inv,column=0,span=2,below=ope}
{
\begin{itemize}
   \item $A$ matrice carrée inversible $\iff$ \\
   il existe $B$ tel que $AB =BA =I$ \\
   Notation : $B =A^{-1}$ \smallskip
   \item $A =\begin{pmatrix}
      a & b \\
      c & d \\
   \end{pmatrix}$ inversible $\iff$ \\
   $\det(A) =ad-bc\neq0$ \\
   $A^{-1} =\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
      d & -b \\
      -c & a \\
   \end{pmatrix}$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Résolution d'un système linéaire} %%%%%%%
{name=res,column=2,span=4,below=ope,bottomaligned=inv}
{
$\left\{
\begin{array}{c@{~}c@{~}c}
   a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n & = & b_1 \\ \vdots & = & \vdots \\    a_{n1}x_1+\dots+a_{nn}x_n & = & b_n
\end{array}
\right.
\iff
\underbrace{\begin{pmatrix}
   a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
   \vdots  & \ddots & \vdots \\
   a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}}_{A}
\underbrace{\begin{pmatrix}
   x_{1} \\
   \vdots \\
   x_{n}
\end{pmatrix}}_{X}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
   b_{1} \\
   \vdots \\
   b_{n}
\end{pmatrix}}_{B}$
\begin{itemize}
   \item Écriture : $AX =B$
   \item Condition de solution (unique) : $A$ inversible
   \item Solution : $X =A^{-1}B$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Suites \bm{$U_{n+1} =AU_n$}} %%%%%%%
{name=sui,column=4,span=2,below=res}
{
Une suite de matrices converge $\iff$ toutes les suites formant les éléments de cette matrice converge
\begin{itemize}
   \item Si $U_{n+1} =AU_n$ alors $U_n =A^nU_0$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Marche aléatoire} %%%%%%%
{name=mar,column=0,span=4,below=inv,above=bottom}
{
Un système qui a $n$ états possibles $E_1, E_2, \dots E_n$ qui évolue de l'un à l'autre par étapes successives aléatoires suit une marche aléatoire à $n$ états \\
On note $P_n$ la matrice ligne associée à la marche aléatoire à l'instant $n$ \\
$P_n =\left(P(X_n=E_1) \; P(X_n=E_2) \; \dots \; P(X_n=E_n)\right)$ \\ [1mm]
\begin{tabular}{C{6}|C{5}}
   graphe probabiliste & matrice de transition \\
   \qquad
   \begin{minipage}{5cm}
   {
   $\begin{psmatrix}[mnode=circle,colsep=1,rowsep=1.2]
   E_1 & & E_2 \\
   & E_3
   \end{psmatrix}$
   \psset{arrowscale=1.5,arrows=->,shortput=nab,labelsep=0.5mm,linewidth=0.2mm}
   \ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{\small$p_{12}$}
   \ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}_{\small$p_{21}$}
   \ncarc[arcangle=15]{1,3}{2,2}^{\small$p_{23}$}
   \ncarc[arcangle=15]{2,2}{1,3}^[npos=0.45]{\small$p_{32}$}
   \ncarc[arcangle=15]{1,1}{2,2}^[npos=0.55]{\small$p_{13}$}
   \ncarc[arcangle=15]{2,2}{1,1}^{\small$p_{31}$}
   \nccircle[angleA=180]{2,2}{0.45}^{\small$p_{33}$}
   \nccircle[angleA=60]{1,1}{0.45}_{\small$p_{11}$}
   \nccircle[angleA=-60]{1,3}{0.45}_{\small$p_{22}$}}
   \end{minipage}
   &
   \qquad
   \begin{minipage}{4cm}
   $T =\begin{pmatrix}
      p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
      p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
      p_{31} & p_{32} & p_{33}
   \end{pmatrix}$ \\ [3mm]
   avec : $0\leq p_{ij}\leq1$ et \\
   $p_{11}+p_{12}+p_{13} =1$ \\
   $p_{21}+p_{22}+p_{23} =1$ \\
   $p_{31}+p_{32}+p_{33} =1$
   \end{minipage} \\
\end{tabular}
\medskip
\begin{itemize}
   \item $P_{n+1} = P_n \times T$ \quad et \quad $P_n =P_0 \times T^n$
   \item Un état probabiliste $P$ est stable $\iff P\times T =P$
\end{itemize}
}

\headerbox{\bf Cas particulier de deux états} %%%%%%%
{name=deu,column=4,span=2,below=sui,above=bottom}
{
\begin{center}
\bigskip
$\begin{psmatrix}[mnode=circle,colsep=1.5]
   E_1 & E_2 \\
\end{psmatrix}$
\psset{arrowscale=1.5,arrows=->,shortput=nab,labelsep=0.5mm,linewidth=0.2mm}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,2}^{\small$p$}
\ncarc[arcangle=15]{1,2}{1,1}^{\small$q$}   
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.4}_{\small$1-p$}
\nccircle[angleA=-90]{1,2}{0.4}_{\small$1-q$} \\
\bigskip
$T =\begin{pmatrix}
   1-p & p \\
   q & 1-q
\end{pmatrix}$
\end{center}
Si $(p;q)\neq(0;0)$ et $(p;q)\neq(1;1)$ alors $P_n$ converge}
\end{poster}

\end{document}


