Pour répondre à cette question, il a fallu trouver l'algorithme qui engendrait les 4 premiers nombres, et appliquer cet algorithme pour trouver le nombre suivant; d'où les définitions suivantes:
u = n/(n+1)
vu ci-dessous, où la seule variable apparaissant
à droite du "=" est n. La définition explicite de la suite u se notant un=n/(n+1)u=4*u*(1-u)
qui, pour toute valeur de u0,
donne une suite pseudo-aléatoire:
Une suite étant constituée d'une infinité de nombres, ne peut être stockée dans un ordinateur dont la mémoire est finie. On est donc obligé de se restreindre à quelques valeurs de l'indice. Par exemple, la suite u définie par un=n/(n+1):
Même si on raccourcit avec des lettres u et n:
On gagne donc à considérer un objet suite
qui est un tableau, et
à afficher ce tableau avec alert u:
Cette technique ne fonctionne pas avec une suite récurrente. Mais on peut créer un tableau
et, après chaque calcul du terme général u, le rajouter au tableau en faisant tableau.push u
.
Ou bien (ici pour la suite des puissances de 2, qui est récurrente; voir plus bas):
Remarque : Dans l'exemple donné au début de ce chapitre, il y a un algorithme explicite qui permet de répondre à la question (en reconnaissant des nombres particuliers), mais aussi un algorithme récurrent (en comparant les nombres). Lequel aviez-vous utilisé ?
On dit qu'une suite récurrente est arithmétique de raison r si un+1=un+r; par exemple, la suite des nombres impairs est arithmétique de raison 2:
Si u est arithmétique de raison r, alors ∀ n ∈ N, un=u0+r×n.
Les suites arithmétiques sont celles qu'on obtient automatiquement en copiant des cellules d'un tableur, ou en fixant les antécédents sur "auto" dans le tableau de fonctions de la calculatrice.
Une suite arithmétique est croissante ou décroissante selon que sa raison est positive ou négative.
On dit qu'une suite récurrente est géométrique de raison r si un+1=un×r; par exemple, la suite des puissances de 2 vue ci-dessus.
Remarque : Le mot "raison" vient du latin ratio qui veut dire "quotient": Le quotient de chaque terme par le précédent est toujours le même "ratio". C'est par abus de langage que le mot "raison" a été gardé pour les suites arithmétiques. Un autre abus de langage a été vu au début du chapitre: Le mot "terme", en algèbre, désigne un nombre ou une expression qui a vocation à être additionné ou soustrait. Ce n'est pas forcément le cas pour les termes d'une suite.
Si u est géométrique de raison r alors ∀ n ∈ N, un=u0× rn.
Une suite géométrique est croissante ou décroissante selon que sa raison est supérieure ou inférieure à 1.
La suite de Fibonacci décrit, de façon très simplifiée, l'évolution d'une population de lapins donnant tous les 6 mois des lapereaux, qui eux-mêmes donnent au bout d'un an des lapereaux. On la modélise par une suite F telle que:
L'algorithme suivant s'arrête toujours, quelle que soit la valeur du seuil
choisie:
Lorsque, pour toute valeur du seuil, l'algorithme calculant une suite croissante jusqu'à ce que le seuil soit dépassé, se termine au bout d'un temps fini, on dit que la suite tend vers l'infini, et on écrit lim un=+∞
Si, pour toute valeur du seuil
, l'algorithme de calcul d'une suite monotone jusqu'à ce que
un-ℓ soit inférieur (en valeur absolue) au seuil, s'arrête au bout d'un temps fini,
on dit que la suite tend vers ℓ, ou admet ℓ comme limite, et on note lim un=ℓ
Le calcul de √(3) par l'algorithme de Heron consiste à appliquer l'algorithme de la définition à une suite un qui tend vers √(3). On choisit la suite récurrente un+1=(un+3/un)/2
Une suite arithmétique tend vers +∞ si sa raison est positive et vers -∞ si sa raison est négative.
Pour le vérifier, il suffit de modifier le premier terme et la raison ci-dessous :
On se restreint aux suites géométriques de raison et de premier terme positifs; alors
Pour le vérifier, on peut modifier le premier terme et la raison ci-dessous :
Voici un algorithme pour additionner les premiers termes d'une suite:
Pour les suites arithmétiques, comme pour les suites géométriques, il y a des formules qui évitent d'avoir recours à des algorithmes.
Attention: Si la suite est numérotée à partir de u0, les N premiers termes vont de u0 jusqu'à uN-1
La somme des N premiers termes d'une suite arithmétique est N×(u0+uN-1)/2 (algorithme: On calcule la moyenne entre le premier terme et le "dernier" terme, et on la multiplie par le nombre de termes).
La somme des N premiers termes d'une suite géométrique de raison r est u0(1-rN)/(1-r)
(la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2 est, d'après la formule précédente, 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+...+2∞=(1-2∞)/(1-2)=2∞-1. En supprimant 2∞ à chaque membre, on obtient l'égalité...)