Le jeu des fractions

Le jeu des fractions a été créé par John Conway en 1986. Il est basé sur les faits suivants :

Les nombres entiers sont des fractions.
Il y a des fractions qui ne sont pas des nombres entiers.
Le produit de deux fractions est une fraction.
Donc le produit d'une fraction par un entier est une fraction.
Quand on multiplie une fraction par un entier,
- le résultat peut être un entier (dans ce cas on dit que la multiplication réussit),
- sinon le résultat n'est pas un entier (dans ce cas on dit que la multiplication échoue).

Pour jouer au jeu des fractions, il faut commencer par un nombre entier. Par exemple le nombre 12. Une fois qu'on a ce nombre, on se présente avec ce nombre là où se trouve la pancarte verte :

Le point de départ (indiqué par le carré vert) comporte, comme tous les points du graphe, une fraction. La joueuse arrive à un point d'étape avec un entier (pour l'instant 12). Que faire avec ce nombre 12 et la fraction 5/6 ? Essayer de les multiplier !

Pour l'instant la joueuse peut multiplier son nombre (12) par la fraction 5/6 (on rappelle que ça veut dire que le produit est un entier, ici 12×5/6 = 10). Alors

ou bien la multiplication réussit (comme ici) et la joueuse ramène le produit en suivant la flèche bleue (ce qui la ramène au départ),
ou bien la multiplication échoue et alors la joueuse suit la flèche rouge pour essayer avec une autre fraction.

Ici, la multiplication réussit avec pour résultat 10, donc la joueuse suit la flèche bleue (en forme de boucle) et passe à l'étape suivante du jeu.

Mais la flèche bleue la ramène au départ, elle va donc essayer de multiplier la fraction 5/6 par son nombre (pour l'instant ce nombre est 10). Cette fois-ci, la multiplication échoue (10×5/6=50/6 et 50 n'est pas dans la table de 6). Donc la joueuse part le long de la flèche rouge, et va à la prochaine fraction.

Cette fraction est 1/2 donc la joueuse essaye de multiplier 10 par 1/2. La multiplication réussit car 10 est pair. Le produit est la moitié de 10 soit 5, et la joueuse part le long de la flèche bleue, avec le nombre 5.

Mais la flèche bleue va au départ, et la joueuse retrouve la fraction 5/6. 5×5/6=25/6 qui n'est pas un entier (car 25 n'est pas dans la table de 6) : la multiplication échoue et la joueuse par le long de la flèche rouge.

Cela la mène à la fraction 1/2 et là, la multiplication échoue (5×1/2=5/2=2,5 qui n'est pas un nombre entier). La joueuse emprunte la flèche rouge.

La flèche rouge la mène à la fraction 1/3. Or la multiplication de 5 par 1/3 échoue (5×1/3=5/3 et 5 n'est pas dans la table de 3). La joueuse emprunte alors la flèche rouge, qui la mène à un sommet sans fraction, marqué fin : elle a fini le jeu.

Résumé de la règle du jeu

Avant de jouer, on se fait remettre par le meneur de jeu, un nombre entier, puis on se rend au départ. Ensuite, à chaque station où on se trouve, on essaye de multiplier son nombre par la fraction. Si la multiplication échoue, on emprunte la flèche rouge. Si la multiplication réussit, on prend comme nouveau nombre entier le produit obtenu, et on emprunte la flèche bleue. Le jeu est terminé lorsqu'on est arrivé au sommet marqué « fin ». Alors on dit au maître du jeu, quel nombre on a obtenu.

Le maître du jeu donne à chaque participant.e un nombre entier choisi de telle sorte que sa décomposition en facteurs premiers ne comporte que des 2 et des 3. Puis il guide les participant.e.s vers le départ. À chaque station, il y a un élève animateur (non joueur) qui montre sa fraction, demande aux joueurs quel est leur nombre actuel, vérifie que la multiplication échoue, ou sinon vérifie le produit obtenu.

Chaque fois que la multiplication réussit, la joueuse retourne au départ (en effet toutes les flèches bleues vont vers le départ) avec un nouveau nombre. Là, le meneur de jeu peut vérifier que le nouveau nombre est cohérent avec l'ancien (par exemple avec 10 comme nouveau nombre et 12 comme ancienne valeur le quotient 10/12 est égal à 5/6 qui est bel et bien une fraction du circuit). Cette séquence de vérifications peut mener à une prise de notes qui, à la fin du jeu, donne une suite de nombres entiers. Par exemple, avec le nombre 12 au départ, on a successivement 12, 10, puis 5 lors des passages au départ.

Avec 18 au départ, on aura la suite 18, 15, 5. Avec 24 au départ, on aura la suite 24, 20, 10, 5. Avec 36 au départ, on aura la suite 36, 30, 25.

On peut se demander s'il y a des chances d'obtenir un autre nombre que 5 à la fin. En fait ça peut arriver, comme le montre l'exemple précédent. Voici quelques nombres finaux attendus :

nombre de départ	nombre d'arrivée
1	1
2	1
3	1
4	1
6	5
8	1
9	1
12	5
16	1
18	5
24	1
27	1
32	1
36	25
54	5
64	1
72	25
81	1
96	25

Le plus petit nombre donnant un autre résultat final que 1 ou 25, est 216, donnant la suite 216, 180, 150, 125 se terminant par 125. Il est utile pour le maître du jeu, d'avoir un tableau de ce genre sur lui, ce qui l'aidera à choisir le nombre de départ (en fonction du niveau de la joueuse) et de vérifier la cohérence avec le nombre final.

Le tableau ci-dessus montre que le nombre obtenu à l'arrivée dépend de manière univoque du nombre donné au départ : le jeu donne une fonction. En fait on peut précalculer cette fonction (le maître du jeu peut le faire en tout cas) : si le maître du jeu donne le nombre 2^a×3^b, le nombre obtenu à la fin est de la forme 5^m où m est le plus petit des deux nombres a et b.

Autre exemple

Voici un autre graphe, sur lequel on peut également jouer au jeu des fractions :

Il donne la fonction suivante (là encore le maître du jeu donne un nombre initial dont la décomposition en facteurs premiers n'a que des 2 et des 3) :

nombre de départ	nombre d'arrivée
1	1
2	5
3	5
4	25
6	5
8	125
9	25
12	25
16	625
18	25
24	125
27	125
32	3125
36	25
54	125
64	15625
72	125
81	625
96	3125

En fait, là encore, le maître du jeu donne aux participant.e.s des nombres de la forme 2^a×3^b, et là encore, le nombre final est de la forme 5^m où m est cette fois-ci, le plus grand des deux exposants a et b.

Conversion binaire

Ce graphe fonctionne avec d'autres nombres initiaux que les jeux précédents :

Le maître du jeu donne comme nombre initial un produit des nombres 2, 3, 5 et 7 (chacun pris une seule fois ou pas pris dans le produit). On a alors

nombre initial	nombre final
1	1
2	2
3	4
5	16
6	8
7	256
10	32
14	512
15	64
21	1024
30	128
35	4096
42	2048
70	8192
105	16384
210	32768

Le secret de ce jeu des fractions peut être percé avec l'astuce suivante :

décomposer en facteurs premiers le résultat obtenu
convertir en binaire l'exposant de cette décomposition
comparer les chiffres binaires de cette écriture avec
- la divisibilité par 7 du nombre de départ
- la divisibilité par 5 du nombre de départ
- la divisibilité par 3 du nombre de départ
- la divisibilité par 2 du nombre de départ

Exemples de Conway

Addition avec mémorisation d'un des termes

Ce jeu des fractions est un peu plus compliqué :

On donne en entrée un nombre de la forme 2^a×3^b×7 et on obtient à la fin 2^a+b×3^b×13.

Multiplication

Ce jeu, si on le démarre avec 2^a×3^b, donne à la fin le nombre 5^a×b :

Conclusion

Le jeu des fractions permet de faire travailler

le calcul mental (lorsque les fractions sont simples)
la multiplication des fractions
la simplification des fractions
la divisibilité
la décomposition en facteurs premiers
la notion de fonction
la notion d'algorithme
le repérage dans le plan et dans l'espace

et, dans la version présentée ici, la collaboration en mobilisant le canal kinesthésique. On peut même envisager une version cartographique où les animateurs occupant les stations (les fractions) donneraient selon que la multiplication réussit ou échoue, les coordonnées GPS de la fraction à laquelle doit se rendre la joueuse. On aurait ainsi une sorte de course d'orientation des fractions...