Le jeu des fractions a été créé par John Conway en 1986. Il est basé sur les faits suivants :
Pour jouer au jeu des fractions, il faut commencer par un nombre entier. Par exemple
le nombre 12
. Une fois qu'on a ce nombre, on
se présente avec ce nombre là où se trouve la pancarte
verte :
Le point de départ (indiqué par le carré vert) comporte, comme
tous les points du graphe, une fraction. La joueuse
arrive à un point d'étape avec un entier (pour l'instant 12
).
Que faire avec ce nombre 12
et la fraction
5/6
? Essayer de les multiplier !
Pour l'instant la joueuse peut multiplier son nombre (12) par la fraction 5/6 (on rappelle que ça veut dire que le produit est un entier, ici 12×5/6 = 10). Alors
Ici, la multiplication réussit avec pour résultat 10, donc la joueuse suit la flèche bleue (en forme de boucle) et passe à l'étape suivante du jeu.
Mais la flèche bleue la ramène au départ, elle va
donc essayer de multiplier la fraction 5/6
par son nombre (pour l'instant ce nombre est 10). Cette
fois-ci, la multiplication échoue (10×5/6=50/6 et 50
n'est pas dans la table de 6). Donc la joueuse part
le long de la flèche rouge, et va à la prochaine fraction.
Cette fraction est 1/2
donc la joueuse
essaye de multiplier 10 par 1/2. La multiplication
réussit car 10 est pair. Le produit est la moitié de
10 soit 5, et la joueuse part le long de la flèche bleue,
avec le nombre 5.
Mais la flèche bleue va au départ, et la joueuse
retrouve la fraction 5/6
. 5×5/6=25/6 qui
n'est pas un entier (car 25 n'est pas dans la table de
6) : la multiplication échoue et la joueuse par le
long de la flèche rouge.
Cela la mène à la fraction 1/2
et là,
la multiplication échoue (5×1/2=5/2=2,5 qui n'est pas
un nombre entier). La joueuse emprunte la flèche rouge.
La flèche rouge la mène à la fraction 1/3
.
Or la multiplication de 5 par 1/3 échoue (5×1/3=5/3 et
5 n'est pas dans la table de 3). La joueuse emprunte alors
la flèche rouge, qui la mène à un sommet sans fraction,
marqué fin
: elle a fini le jeu.
Avant de jouer, on se fait remettre par le meneur de jeu, un nombre entier, puis on se rend au départ. Ensuite, à chaque station où on se trouve, on essaye de multiplier son nombre par la fraction. Si la multiplication échoue, on emprunte la flèche rouge. Si la multiplication réussit, on prend comme nouveau nombre entier le produit obtenu, et on emprunte la flèche bleue. Le jeu est terminé lorsqu'on est arrivé au sommet marqué « fin ». Alors on dit au maître du jeu, quel nombre on a obtenu.
Le maître du jeu donne à chaque participant.e un nombre entier choisi de telle sorte que sa décomposition en facteurs premiers ne comporte que des 2 et des 3. Puis il guide les participant.e.s vers le départ. À chaque station, il y a un élève animateur (non joueur) qui montre sa fraction, demande aux joueurs quel est leur nombre actuel, vérifie que la multiplication échoue, ou sinon vérifie le produit obtenu.
Chaque fois que la multiplication réussit, la joueuse retourne au départ (en effet toutes les flèches bleues vont vers le départ) avec un nouveau nombre. Là, le meneur de jeu peut vérifier que le nouveau nombre est cohérent avec l'ancien (par exemple avec 10 comme nouveau nombre et 12 comme ancienne valeur le quotient 10/12 est égal à 5/6 qui est bel et bien une fraction du circuit). Cette séquence de vérifications peut mener à une prise de notes qui, à la fin du jeu, donne une suite de nombres entiers. Par exemple, avec le nombre 12 au départ, on a successivement 12, 10, puis 5 lors des passages au départ.
Avec 18 au départ, on aura la suite 18, 15, 5. Avec 24 au départ, on aura la suite 24, 20, 10, 5. Avec 36 au départ, on aura la suite 36, 30, 25.
On peut se demander s'il y a des chances d'obtenir un autre nombre que 5 à la fin. En fait ça peut arriver, comme le montre l'exemple précédent. Voici quelques nombres finaux attendus :
nombre de départ | nombre d'arrivée |
---|---|
1 | 1 |
2 | 1 |
3 | 1 |
4 | 1 |
6 | 5 |
8 | 1 |
9 | 1 |
12 | 5 |
16 | 1 |
18 | 5 |
24 | 1 |
27 | 1 |
32 | 1 |
36 | 25 |
54 | 5 |
64 | 1 |
72 | 25 |
81 | 1 |
96 | 25 |
Le plus petit nombre donnant un autre résultat final que 1 ou 25, est 216, donnant la suite 216, 180, 150, 125 se terminant par 125. Il est utile pour le maître du jeu, d'avoir un tableau de ce genre sur lui, ce qui l'aidera à choisir le nombre de départ (en fonction du niveau de la joueuse) et de vérifier la cohérence avec le nombre final.
Le tableau ci-dessus montre que le nombre obtenu à l'arrivée dépend de manière univoque du nombre donné au départ : le jeu donne une fonction. En fait on peut précalculer cette fonction (le maître du jeu peut le faire en tout cas) : si le maître du jeu donne le nombre 2a×3b, le nombre obtenu à la fin est de la forme 5m où m est le plus petit des deux nombres a et b.
Voici un autre graphe, sur lequel on peut également jouer au jeu des fractions :
Il donne la fonction suivante (là encore le maître du jeu donne un nombre initial dont la décomposition en facteurs premiers n'a que des 2 et des 3) :
nombre de départ | nombre d'arrivée |
---|---|
1 | 1 |
2 | 5 |
3 | 5 |
4 | 25 |
6 | 5 |
8 | 125 |
9 | 25 |
12 | 25 |
16 | 625 |
18 | 25 |
24 | 125 |
27 | 125 |
32 | 3125 |
36 | 25 |
54 | 125 |
64 | 15625 |
72 | 125 |
81 | 625 |
96 | 3125 |
En fait, là encore, le maître du jeu donne aux participant.e.s des nombres de la forme 2a×3b, et là encore, le nombre final est de la forme 5m où m est cette fois-ci, le plus grand des deux exposants a et b.
Ce graphe fonctionne avec d'autres nombres initiaux que les jeux précédents :
Le maître du jeu donne comme nombre initial un produit des nombres 2, 3, 5 et 7 (chacun pris une seule fois ou pas pris dans le produit). On a alors
nombre initial | nombre final |
---|---|
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 4 |
5 | 16 |
6 | 8 |
7 | 256 |
10 | 32 |
14 | 512 |
15 | 64 |
21 | 1024 |
30 | 128 |
35 | 4096 |
42 | 2048 |
70 | 8192 |
105 | 16384 |
210 | 32768 |
Le secret de ce jeu des fractions peut être percé avec l'astuce suivante :
Ce jeu des fractions est un peu plus compliqué :
On donne en entrée un nombre de la forme 2a×3b×7 et on obtient à la fin 2a+b×3b×13.
Ce jeu, si on le démarre avec 2a×3b, donne à la fin le nombre 5a×b :
Le jeu des fractions permet de faire travailler
et, dans la version présentée ici, la collaboration en mobilisant le canal kinesthésique. On peut même envisager une version cartographique où les animateurs occupant les stations (les fractions) donneraient selon que la multiplication réussit ou échoue, les coordonnées GPS de la fraction à laquelle doit se rendre la joueuse. On aurait ainsi une sorte de course d'orientation des fractions...