Le jeu des fractions

Le jeu des fractions a été créé par John Conway en 1986. Il est basé sur les faits suivants :

Pour jouer au jeu des fractions, il faut commencer par un nombre entier. Par exemple le nombre 12. Une fois qu'on a ce nombre, on se présente avec ce nombre là où se trouve la pancarte verte :

image/svg+xml5 6 1 2 1 3 fin

Le point de départ (indiqué par le carré vert) comporte, comme tous les points du graphe, une fraction. La joueuse arrive à un point d'étape avec un entier (pour l'instant 12). Que faire avec ce nombre 12 et la fraction 5/6 ? Essayer de les multiplier !

Pour l'instant la joueuse peut multiplier son nombre (12) par la fraction 5/6 (on rappelle que ça veut dire que le produit est un entier, ici 12×5/6 = 10). Alors

Ici, la multiplication réussit avec pour résultat 10, donc la joueuse suit la flèche bleue (en forme de boucle) et passe à l'étape suivante du jeu.

Mais la flèche bleue la ramène au départ, elle va donc essayer de multiplier la fraction 5/6 par son nombre (pour l'instant ce nombre est 10). Cette fois-ci, la multiplication échoue (10×5/6=50/6 et 50 n'est pas dans la table de 6). Donc la joueuse part le long de la flèche rouge, et va à la prochaine fraction.

Cette fraction est 1/2 donc la joueuse essaye de multiplier 10 par 1/2. La multiplication réussit car 10 est pair. Le produit est la moitié de 10 soit 5, et la joueuse part le long de la flèche bleue, avec le nombre 5.

Mais la flèche bleue va au départ, et la joueuse retrouve la fraction 5/6. 5×5/6=25/6 qui n'est pas un entier (car 25 n'est pas dans la table de 6) : la multiplication échoue et la joueuse par le long de la flèche rouge.

Cela la mène à la fraction 1/2 et là, la multiplication échoue (5×1/2=5/2=2,5 qui n'est pas un nombre entier). La joueuse emprunte la flèche rouge.

La flèche rouge la mène à la fraction 1/3. Or la multiplication de 5 par 1/3 échoue (5×1/3=5/3 et 5 n'est pas dans la table de 3). La joueuse emprunte alors la flèche rouge, qui la mène à un sommet sans fraction, marqué fin : elle a fini le jeu.

Résumé de la règle du jeu

Avant de jouer, on se fait remettre par le meneur de jeu, un nombre entier, puis on se rend au départ. Ensuite, à chaque station où on se trouve, on essaye de multiplier son nombre par la fraction. Si la multiplication échoue, on emprunte la flèche rouge. Si la multiplication réussit, on prend comme nouveau nombre entier le produit obtenu, et on emprunte la flèche bleue. Le jeu est terminé lorsqu'on est arrivé au sommet marqué « fin ». Alors on dit au maître du jeu, quel nombre on a obtenu.

Le maître du jeu donne à chaque participant.e un nombre entier choisi de telle sorte que sa décomposition en facteurs premiers ne comporte que des 2 et des 3. Puis il guide les participant.e.s vers le départ. À chaque station, il y a un élève animateur (non joueur) qui montre sa fraction, demande aux joueurs quel est leur nombre actuel, vérifie que la multiplication échoue, ou sinon vérifie le produit obtenu.

Chaque fois que la multiplication réussit, la joueuse retourne au départ (en effet toutes les flèches bleues vont vers le départ) avec un nouveau nombre. Là, le meneur de jeu peut vérifier que le nouveau nombre est cohérent avec l'ancien (par exemple avec 10 comme nouveau nombre et 12 comme ancienne valeur le quotient 10/12 est égal à 5/6 qui est bel et bien une fraction du circuit). Cette séquence de vérifications peut mener à une prise de notes qui, à la fin du jeu, donne une suite de nombres entiers. Par exemple, avec le nombre 12 au départ, on a successivement 12, 10, puis 5 lors des passages au départ.

Avec 18 au départ, on aura la suite 18, 15, 5. Avec 24 au départ, on aura la suite 24, 20, 10, 5. Avec 36 au départ, on aura la suite 36, 30, 25.

On peut se demander s'il y a des chances d'obtenir un autre nombre que 5 à la fin. En fait ça peut arriver, comme le montre l'exemple précédent. Voici quelques nombres finaux attendus :

nombre de départnombre d'arrivée
11
21
31
41
65
81
91
125
161
185
241
271
321
3625
545
641
7225
811
9625

Le plus petit nombre donnant un autre résultat final que 1 ou 25, est 216, donnant la suite 216, 180, 150, 125 se terminant par 125. Il est utile pour le maître du jeu, d'avoir un tableau de ce genre sur lui, ce qui l'aidera à choisir le nombre de départ (en fonction du niveau de la joueuse) et de vérifier la cohérence avec le nombre final.

Le tableau ci-dessus montre que le nombre obtenu à l'arrivée dépend de manière univoque du nombre donné au départ : le jeu donne une fonction. En fait on peut précalculer cette fonction (le maître du jeu peut le faire en tout cas) : si le maître du jeu donne le nombre 2a×3b, le nombre obtenu à la fin est de la forme 5m où m est le plus petit des deux nombres a et b.

Autre exemple

Voici un autre graphe, sur lequel on peut également jouer au jeu des fractions :

image/svg+xml5 6 5 2 5 3 fin

Il donne la fonction suivante (là encore le maître du jeu donne un nombre initial dont la décomposition en facteurs premiers n'a que des 2 et des 3) :

nombre de départnombre d'arrivée
11
25
35
425
65
8125
925
1225
16625
1825
24125
27125
323125
3625
54125
6415625
72125
81625
963125

En fait, là encore, le maître du jeu donne aux participant.e.s des nombres de la forme 2a×3b, et là encore, le nombre final est de la forme 5m où m est cette fois-ci, le plus grand des deux exposants a et b.

Conversion binaire

Ce graphe fonctionne avec d'autres nombres initiaux que les jeux précédents :

image/svg+xml25 7 9 5 4 3 fin

Le maître du jeu donne comme nombre initial un produit des nombres 2, 3, 5 et 7 (chacun pris une seule fois ou pas pris dans le produit). On a alors

nombre initialnombre final
11
22
34
516
68
7256
1032
14512
1564
211024
30128
354096
422048
708192
10516384
21032768

Le secret de ce jeu des fractions peut être percé avec l'astuce suivante :

Exemples de Conway

Addition avec mémorisation d'un des termes

Ce jeu des fractions est un peu plus compliqué :

image/svg+xml110 21 13 7 7 11 51 65 13 17 fin

On donne en entrée un nombre de la forme 2a×3b×7 et on obtient à la fin 2a+b×3b×13.

Multiplication

Ce jeu, si on le démarre avec 2a×3b, donne à la fin le nombre 5a×b :

image/svg+xml455 33 11 13 1 11 3 7 11 2 1 3 fin

Conclusion

Le jeu des fractions permet de faire travailler

et, dans la version présentée ici, la collaboration en mobilisant le canal kinesthésique. On peut même envisager une version cartographique où les animateurs occupant les stations (les fractions) donneraient selon que la multiplication réussit ou échoue, les coordonnées GPS de la fraction à laquelle doit se rendre la joueuse. On aurait ainsi une sorte de course d'orientation des fractions...

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