L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante d'un entier n:
n est pair si et seulement si n² est pair.
Pour cela, on raisonne par disjonction des cas, ce qui donne la réciproque directement. Autrement dit, on montre que, ∀ n ∈ N,
- n est pair ⇒ n² est pair
- n est impair ⇒ n² est impair
Comme ∀ n ∈ N, (n est pair) ∨ (n est impair), on en déduit que
- n est pair ⇔ n² est pair
- n est impair ⇔ n² est impair
Remettre la démonstration dans l'ordre:
- • Si n est impair,
- et d'un nombre impair.
- n=2a, avec a∈N.
- est la somme d'un nombre pair
- Alors n²=4a² est pair.
- Donc n² est impair.
- • Si n est pair,
- n=2a+1 avec a∈N.
- Alors n²=4a²+4a+1