Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques et de l’Informatique de la Réunion

Le coin des auteurs

  • Apprendre les fractions par le jeu :

    5 ateliers ludiques du cycle 2 au cycle 3

    Un levier pour ancrer les concepts mathématiques dans la manipulation et la verbalisation

    1. Pourquoi enseigner les fractions par le jeu ?
    1. Les fractions, un concept abstrait et exigeant

    Les fractions représentent un défi majeur dans l’apprentissage des mathématiques à l’école primaire. Selon les programmes 2025 et les documents d’accompagnement Eduscol, leur maîtrise est essentielle pour :

    • Comprendre la notion de partage (partie d’un tout) à partir du CE1.
    • Établir des liens entre les différentes représentations d’une fraction (Triple code de S.Deheane) :
      • Représentations analogiques (disques, barres, lignes graduées)
      • Représentations symboliques (écriture chiffrée)
      • Représentations verbales (vocabulaire : « demi », « tiers », etc.).
    • Développer des compétences transversales : raisonnement, comparaison, calcul…

    Or, les élèves rencontrent souvent des obstacles :

    • Difficulté à visualiser le tout et ses parties : le programme de CE1 met l’accent uniquement sur cet objectif.
    • Confusion entre numérateur et dénominateur (penser que 1/4 > 1/2 parce que 4 > 2).
    • Méconnaissance des équivalences (ex. : 2/4 = 1/2) : à partir du CE2
    • Passage de la représentation partie/tout à la ligne graduée

    « Les fractions ne s’enseignent pas seulement par des exercices écrits. Elles nécessitent une approche sensorielle et active, où l’élève manipule, compare, et justifie. » — Eduscol, Ressources pour l’école primaire (2024)

    b) Le jeu comme levier pédagogique

    L’apprentissage par le jeu répond aux enjeux cognitifs et motivationnels identifiés par la recherche en didactique des mathématiques :

    Ancrage dans le réel de l’élève : l’approche ludopédagogique va permettre d’engager l’élève.

    Les jeux proposés (Memory, Bingo, Halli Galli, etc.) s’appuient sur des représentations visuelles et manipulables. Ils permettent de passer du concret à l’abstrait : l’élève voit d’abord 1/2 d’un disque coloré avant de lire le symbole mathématique.

    Verbalisation et interaction

    Les règles des jeux imposent une justification orale : « J’ai 3/4 de carré, toi tu as 1/2 : c’est moi qui gagne car 3/4 > 1/2. » « Je cherche le quart de disque pour compléter ma famille. »

    L’objectif est de développer le langage mathématique (vocabulaire des fractions) et la métacognition (expliciter sa stratégie).

    Progressivité

    Les jeux s’adaptent des niveaux CE1 au CM2 : les variables et les représentations évoluent en accord avec les programmes Le passage à la ligne graduée se fait à partir du CE2. Les jeux permettent un enseignement spiralaire puis une remédiation en PAC selon les niveaux de classe.

    • CE1 : Fractions unitaires (1/2, 1/3, 1/4) avec des représentations analogiques ou les mots.
    • CE2 : introduction de la ligne graduée, de la représentation symbolique
    • CM1/CM2 : Équivalences (2/4 = 1/2), addition de fractions (connaître les compléments à 1)

    Ils permettent un travail collaboratif (binômes, groupes) ou individuel (Memory en autonomie).

    Motivation et engagement

    Le jeu laisse une large place à l’erreur : l’élève teste, ajuste, et apprend par essais-erreurs.

    Il travaille la persévérance et l’inhibition (ex. : dans le Halli Galli, il faut être rapide ET précis).

    Il renforce la confiance en soi.

    « Le jeu crée un contexte significatif où les mathématiques deviennent un outil pour agir, et non une fin en soi. » — Programmes 2025, Mathématiques

    2- 5 jeux pour maîtriser les fractions du CE1 au CM2

    Chaque jeu disponible en téléchargement est accompagné d’une fiche descriptive détaillée (objectifs pédagogiques, règles, variantes) et des fichiers à imprimer pour construire le matériel.

    Ces jeux couvrent les compétences clés des programmes 2025 :

    • Lire et écrire des fractions (inférieures ou égales à 1).
    • Comparer des fractions (même dénominateur, équivalences).
    • Représenter des fractions (disques, barres, lignes graduées).
    • Composer/décomposer des fractions (addition de fractions de même dénominateur, équivalence de fraction entre 2/4 et ½…).
    ÉtapeActivités suggéréesDurée
    DécouvertePrésenter le jeu en collectif (ex. : Fracto’Bataille) avec modélisation par l’enseignant.20-30 min
    EntraînementAteliers tournants en groupes de 4 : chaque groupe joue à un jeu différent) permettant de travailler différents objectifs30-45 min
    ApprofondissementVariantes pour les élèves les plus à l’aise (ex. : Halli Galli avec fractions en écriture chiffrée).20-30 min
    ÉvaluationTournoi entre classes ou fiche de suivi (ex. : « Quelles fractions as-tu reconnues ? »).15-20 min

    Différenciation

    • Pour les élèves en difficulté :

    Utiliser des aides visuelles (calques pour superposer les fractions).

    Travailler en binôme.

    • Pour les élèves avancés :
    • Introduire des différentes représentations, ajouter des formes nouvelles
    • Ajouter les cartes « lignes graduées » et « sacs de billes » (fraction d’une quantité).

    Point de vigilance pour l’enseignant

    • Insister sur la verbalisation : Demander systématiquement aux élèves d’expliquer leur raisonnement et d’utiliser le vocabulaire précis relatif aux fractions (« on ne dit pas 1 sur 4 mais un quart »).
    • Alterner les supports : Passer des disques aux lignes graduées pour éviter les automatismes.
    • Lier avec d’autres disciplines :
      • Arts plastiques : Créer des fresques fractionnées (ex. : un mandala divisé en 8 parts).
      • EPS : Jeu de course fractionnée (ex. : « Avance de 1/4 du parcours »).

    3- Quelques références :

    Les programmes 2025 insistent sur la manipulation, la verbalisation, et les liens entre les représentations.

    Les travaux de Guy Brousseau (théorie des situations didactiques) montrent que le jeu permet de dépasser les blocages en plaçant l’élève en situation de recherche active.

    Eduscol :

    Ouvrages :

    • « Les jeux en classe de mathématiques » (Canopé) : Idées pour adapter les jeux existants.

    Outils numériques :

    • LearningApps : Créer des exercices interactifs sur les fractions.
    • GeoGebra : Manipuler des fractions dynamiques (ex. : diviser un cercle en parts égales).

    Conclusion :

    Le jeu est un allié fort pour enseigner les fractions. Cela permet de rendre un concept abstrait , concret grâce à la visualisation des différentes représentations.

    L’enseignement des fractions c’est enseigner la construction d’un nombre : la fraction, pour cela on s’appuiera sur le triple code de Stanislas Dehaene pour présenter aux élèves les différentes représentations en terminant toujours par la représentation chiffrée, la plus abstraite.

    Le jeu permet également de développer l’autonomie, renforce la motivation et l’engagement des élèves et contribue à une meilleure gestion de l’erreur. Enfin, il permet la coopération entre élèves et renforce les compétences psycho-sociales.

    Comme le souligne le document d’accompagnement Eduscol (2024) :

    « Le jeu permet de dépasser la peur de l’erreur et de construire des savoirs durables en ancrant les apprentissages dans l’action et le plaisir. »

    Guardenti Hélène

    Piron Laurence

    MEMORYTélécharger
    BINGO DES FRACTIONSTélécharger
    JEU DES TROIS FAMILLESTélécharger
    HALLI GALLI DES FRACTIONSTélécharger
    FRACTO’BATAILLETélécharger

  • Séminaires de fin d’année 2025/2026

    2 dates, 2 lieux, un lien zoom

    17 juin 2026

    Salle de réunion du LIM, PTU, Saint Denis

    Lien pour nous rejoindre en visio

    • 14h-14h30 Petit bilan de l’année de l’IREMI, Marion Le Gonidec
    • 14h30-15h00 Réalisations et projets de l’IREMIS-Mayotte Jean-Berky NGUALA, IREMIS-Mayotte.
    • 15h00-15h30 Rallye-Maths 974, Bruno ACCOT, Corine HEMBERT, Haintso RALAINARIVOARIMINO , Pierre-Baptiste BOYER, (Sujets, résultats et bilan de l’année
    • 15h30-15h55 Bilan des ateliers Informatique, Sebastien HOARAU et Christophe DECLERCQ

    PAUSE

    • Coté Info: Discussion autour des projets de l’année prochaine.
    • Coté math:
      • 16h30 -17h15 Des artefacts culturels aux tâches mathématiques : une étude fondée sur la conception (Design-Based Research) de la formation des enseignants en ethnomathématiques au Cameroun et à Mayotte, Patrick THONANG YOUPAK, IREMIS-Mayotte
      • 17h15-18h00 Une version cinématique d’appréhender les courbes d’interpolation + Les dernières avancées de PLUME, Olivier SICARD.

    24 juin 2026

    Campus du Tampon, salle T23

    Lien pour nous rejoindre en visio

    • 14h00-14h20. Le Rendez-vous jeu d’Alain BUSSER: Yavalath, un jeu très original
    • 14h20-14h40 Petit bilan de l’année de l’IREMI, Marion Le Gonidec
    • 14h40-15h00 Concours Flash Maths: un bilan, Claire LAGARDE
    • 15h00-15h20 Bilan de l’atelier résolution de problème, Claire LAGARDE
    • 15h20- 15h40 Petit Bridge:bilan de l’année, Patrick Schilli

    PAUSE

    • Coté Math:
      • 16h15-17h00 Intégration des éléments culturels malgaches dans l’enseignement/apprentissage de la symétrie axiale en classe de 4e, Evixel HERIMANDIMBY
      • 17h00-17h20 Bilan atelier Fractions et Point d’étape mathémathèque, Laurence Piron, Helène Guardenti
      • 17h20-18h00 Discussion autour des ateliers de l’année prochaine.
    • Coté info:

  • Ludologie en informatique

    Durant l’année scolaire 2025-2026, un atelier a démarré l’étude de certains jeux dans l’optique de les utiliser pour illustrer certains concepts en informatique.

    Parmi les exemples les plus connus, il y a la découverte de la récursivité par les tours de Hanoï, et du binaire par le baguenaudier.

    La priorité a été donnée à des jeux combinatoires à deux joueurs en mode débranché.

    En voici d’autres, dans un fichier listant les applications à l’enseignement de l’informatique :

    ludologie1Télécharger

    Pour un aperçu, on peut voir ici-même les grilles obtenues :

    ludologie1Télécharger

    On constate que c’est en classe de Première NSI que l’offre est la plus riche. Certains jeux ont d’ailleurs été testés presque en même temps par des élèves de Première NSI et des élèves de cycle 2 !

  • Séminaire du 20 mai 2026

    Salle de réunion du LIM, PTU, Saint Denis

    Lien pour nous rejoindre en visio

    • 14h-14h30 Le rendez-vous Jeu d’Alain busser: Schim, encore un jeu de Nim. Résumé: Le jeu Schim est un jeu impartial créé il y a quelques semaines, dont l’étude révèle quelques surprises, en particulier le fait que le nombre de Grundy ne semble pas pré-périodique. Le jeu a déjà été testé par des élèves de CP.
    • 14h30-15h00 Le jeu de la tablette empoisonnée, Christophe Declercq.
    • 15h-15h50 Remise des prix des 2ieme Olympiades d’Informatique de l’Océan Indien en présence des lauréats.

    PAUSE

    • 16h20-17h10 Enseigner avec l’IA: retour d’expérimentation: l’IA utilisée comme comme tuteur virtuel pour acquérir des automatismes de calcul, Philippe Testud,
    • 17h10-18h Réglettes Cuisenaires; Utilisation au primaire pour mesurer, représenter et calculer avec des fractions, et appréhender la droite graduée, Patrick Schilli. Analyse des expérimentions et perspectives.

  • Géométrie de l’espace des couleurs

    Au programme de SNT, on peut lire parmi les capacités attendues :

    Traiter par programme une image pour la transformer en agissant sur les trois composantes de ses points.

    Or puisque les points (pixels en fait) d’une photo ont trois composantes, c’est que les couleurs sont placées dans un espace de dimension 3, en prenant

    • pour abscisse le niveau de rouge (de 0 à 255),
    • pour ordonnée le niveau de vert (de 0 à 255),
    • pour hauteur le niveau de bleu (de 0 à 255).

    Changer les couleurs d’une photo (par exemple pour la désaturer) peut donc se faire par des transformations de l’espace de dimension 3. Bouger des points (y compris par des rotations dans l’espace) peut se faire avec Css, mais ici, c’est bien dans l’espace des couleurs qu’on va effectuer ces transformations (symétries, rotations, homothéties, projections) et ce sont des couleurs qu’on va changer. Et, comme par ailleurs, le programme de SNT précise aussi :

    Au moment de la conception de ce programme, le langage choisi est Python version 3 (ou supérieure).

    C’est donc en Python qu’on va programmer ces filtres photo, avec le module PIL :

    from PIL import Image
img = Image.open('CamphrierTampon2.jpg')
(largeur,hauteur) = img.size

    On constate que les dimensions de la photo forment un couple (largeur,hauteur). Les élèves sont censés retoucher leurs propres photos mais au cas où, il a été choisi cette photo sous licence Creative Commons, extraite de l’article sur Le Tampon :

    On remarque qu’il y a une voiture bleue tout à gauche, et, à côté de celle-ci, une voiture rouge. Cela va changer si on inverse les composantes rouge et bleue :

    Symétrie

    On effectue une symétrie par rapport au plan vert (les composantes rouge et bleue sont égales) en parcourant l’image pixel par pixel, et en lisant les couleurs du pixel, puis en modifiant celui-ci avec (b,g,r) au lieu de (r,g,b) :

    for x in range(largeur):
    for y in range(hauteur):
        (r,g,b) = img.getpixel((x,y))
        img.putpixel((x,y),(b,g,r))

    Sans surprise, la voiture rouge est devenue bleue, et vice-versa :

    Pour voir la photo retouchée, on peut faire

    img.show()

    mais il faut attendre quelques secondes pour que le script Python ait parcouru tous les pixels de l’image…

    Rotations

    On tourne autour de l’axe des gris, de 120°, d’abord dans un sens avec img.putpixel((x,y),(g,b,r)) :

    puis dans l’autre avec img.putpixel((x,y),(b,r,g)) :

    Projections

    Pour projeter sur le plan des images sans rouge, on fait img.putpixel((x,y),(0,g,b)), ce qui donne une image sans rouge :

    et pour projeter sur le plan sans bleu, on fait img.putpixel((x,y),(r,g,0)), ce qui donne une image sans bleu (ce qui imite certaines formes de daltonisme) :

    On peut aussi projeter sur une droite comme celle des gris (r=g=b), avec img.putpixel((x,y),(g,g,g)), ce qui donne une image en niveaux de gris :

    Géométrie de l’espace des couleurs

    Homothéties

    Comme on veut éviter de dépasser 255 comme valeur de rouge, vert ou bleu, on choisit un rapport d’homothétie inférieur à 1, par exemple 1/2. On va donc remplacer chaque composante par sa moitié entière avec img.putpixel((x,y),(r//2,g//2,b//2)) ce qui donne une image plu sombre :

    Solarisation

    On peut faire des choses plus riches, par exemple en donnant à chaque pixel une teinte en arc-en-ciel, qui évoque une solarisation, avec la formule img.putpixel((x,y),(255-g,255-abs(g-128),g)) :

    Géolocalisation

    L’arbre photographie ci-dessus se trouve aux coordonnées (-21.281207 , 55.521736) ce qui permet de le voir d’un autre angle sur photos satellite, par exemple sur Géoportail :

    ou sur maps :

    Le « gigantesque pied de bois » est en fait un ravintsara.

  • Jeu de la tablette de chocolat empoisonnée

    https://iremi974.gitlab.io/python-de-la-fournaise/chocolat.html

    Un des problèmes soumis au camp Zabey et brillament résolu par les lycéennes. Bravo ! Le lien permet de constater que celui qui commence a effectivement une stratégie gagnante…

  • Oussa soley i lé ?

    https://iremi974.gitlab.io/python-de-la-fournaise/zenith.html

    Une page pour connaître à chaque instant le lieu de passage du soleil au zénith, c’est à dire l’endroit sur terre où l’on peut mesurer la hauteur du soleil à 90° au dessus de l’horizon.

    Activités pédagogiques :

    • Trouver la date et l’heure du prochain et du dernier passage du soleil au zénith de l’observatoire des Makes à La Réunion.
      Astuce : la date et l’heure peuvent être modifiées avec le formulaire.
    • Repérer l’ensemble des lieux où le soleil peut un jour passer au zénith. Distinguer en fonction des saisons.
      Astuce : les lignes de l’équateur et des tropiques sont dessinées sur la carte.
  • Bim et Schim

    Bim et Schim

    Les deux jeux présentés ici font appel à la motricité fine, et sont donc intéressants à pratiquer dès le CP, voire la GS. Leurs noms vient de ceux de leurs auteurs (Bim est Busser’s nim et Schim est Schilli’s nim). Les deux jeux proviennent de tentatives d’améliorations de Rim, jeu créé à la va-vite par John Conway, et ici décrit (page 131 de On Numbers and Games) :

    En fait, le jeu décrit par Conway, tel quel, est relativement sans intérêt, puisqu’il y a une stratégie gagnante simple pour celui qui joue en premier : il n’a qu’à tracer une courbe fermée passant par tous les points et son adversaire est bloqué.

    • Dans Bim, on ajoute la règle suivante : au premier coup on trace une courbe passant par au moins un point, mais pas par tous les points.
    • Dans Schim on ne dit rien sur le premier coup, mais la courbe tracée doit obligatoirement passer par 1, 2 ou 3 points qui ne sont pas déjà sur une courbe. Schim est dont une généralisation de Rayles décrit ci-dessus.

    Bim

    On appelle libre un point qui n’est pas sur une courbe. Voici donc la règle de Bim ;

    Le jeu se joue sur une constellation. Le premier trace une courbe passant par au moins un point, et lassant libre au moins un point. Ensuite chaque joueur à son tour, trace une courbe passant par au moins un point libre, et ne croisant ni touchant aucune courbe déjà tracée. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.

    Bim est le jeu octal 0.677777777…

    Schim

    Voici la règle de Schim :

    Le jeu se joue sur une constellation. Chaque joueur à son tour trace une courbe passant par 1, 2 ou 3 points libres et ne croisant ni touchant aucune courbe déjà tracée. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.

    Schim est le jeu octal 0.777.

    On convient que dès qu’une courbe en croise une autre (ou elle-même) ou passe par plus de 3 points libres ou par un point non libre, le joueur ayant fait l’erreur a perdu.

    Voici quelques exemples de parties de Schim jouées en (fin de) CP :

    Exemples d’erreurs

    Ces exemples sont utiles pour expliquer la règle du jeu : on demande aux élèves quelles sont les erreurs :

    erreurschimTélécharger
    • L’une des courbes passe par plus de 3 points.
    • Il reste un point libre.
    • Une courbe passe par plus de 3 points, et deux courbes passent par un même point.
    • Le petit cercle orange à gauche, passe par un point qui est sur une courbe, ou croise cette courbe.
    • Une courbe reliant l’unique point libre à un point déjà sur une courbe, a été tracée par erreur, puis barrée, ce qui a caché le fait que le point tout à droite est libre et que le jeu n’était donc pas fini.
    • La courbe fractale se croise elle-même.
    • L’hypoténuse du triangle à gauche, n’arrive pas vraiment à éviter un point non libre.
    • Deux points sont sur deux courbes (en gris).
    • La courbe jaune passe par 5 points.
    • Deux courbes marron sont tangentes.
    • La courbe bleue passe par 4 points.
    • La courbe fractale s’auto-croise.
    • Les verts n’ont pas vu qu’il reste un point libre et ont cru perdre alors qu’ils gagnaient.
    • Une courbe passe deux fois par le même point.
    • Deux courbes se croisent (et en plus l’une est de trop, les verts n’ayant joué qu’une fois).
    • Si on ne triche pas, le jeu se termine sur des sommets qui sont tous de degré 2 ; ici il y a même un sommet de degré 4 !

    Le théorème de Jordan (toute courbe fermée sans point double sépare le reste en un intérieur et un extérieur) n’est pas une vision naturelle en CP (au début, aucun élève n’a pensé à englober des courbes dans une courbe, par contre la notion de courbe fractale semble être présente, comme on le voit sur certains exemples ci-dessus.

    Exemples de parties terminées

    Pour analyser des parties, il vaut mieux imposer la couleur bleue à celui qui joue en premier et la couleur rouge à celui qui joue en deuxième, afin de pouvoir expliquer qui a gagné au cas où il y a un nombre pair de courbes. Voici quelques parties remarquables observées en CP :

    schimCPTélécharger

    Comment faire jouer à Schim

    Les élèves peuvent très bien jouer sur une ardoise, sur laquelle ils adorent d’ailleurs dessiner les points avant de jouer. Mais il vaut mieux les faire jouer juste avant la sonnerie, car le jeu les excite. Comme cela avait déjà été fait avec Sprouts (auquel Bim et Schim ressemblent un peu), on peut même envisager un tournoi au tableau avec Velleda.

    On détermine qui joue en premier, avec Pierre-Feuille-Ciseaux : le gagnant à Pierre-Feuille-Ciseaux joue la couleur bleue et commence. Quand le jeu est terminé, il est intéressant de l’examiner avec les élèves et débattre de qui a gagné et pourquoi. S’il y a un nombre pair de courbes, c’est Bleu qui a gagné, sinon c’est celui qui a tracé une courbe de plus que l’autre (sauf s’il y a eu triche comme deux courbes qui se croisent ou une courbe qui passe par plus de 3 points).

    Il peut être intéressant aussi de donner des problèmes de Schim du type Rouge joue et gagne en un coup. Et surtout, le jeu faisant travailler les nombres 1, 2 et 3 et la motricité fine, serait probablement intéressant à explorer en cycle 1, ou en début de CP : on voit plus haut sur les exemples, la maîtrise qu’ont certaines élèves en tracé de cercle circonscrit à la main, ainsi qu’un cercle de diamètre donné, il serait intéressant de comparer ces performances avec celles d’élèves plus jeunes, mais aussi avec celles d’élèves plus âgés : l’idée de séparer les points par une courbe n’est apparue spontanément à aucun.e élève de CP.

    On peut aussi jouer au tableau, comme cela avait été fait pour Sprouts à partir de la grande section.

    Des élèves, avides de jouer sur beaucoup de points, ont inventé une variante de Schim où on a aussi le droit de passer par 4 points :

    Mais ils n’ont pas pensé à englober des points ou des courbes dans une courbe, d’ailleurs ils voyaient des polygones remplis :

    Combien de points ?

    Manifestement, le jeu testé en CP avec 7 points au départ, est peu intéressant. En revanche, en GS on a déjà des calculs plus complexes avec seulement 8 ou 9 points :

    schimGSTélécharger

    Or il se trouve que le nombre de Grundy de ce jeu est 3 qui n’est pas énorme. Un critère de choix de nombre initial de points pour lequel la stratégie gagnante n’est pas évidente est un nombre de Grundy élevé. Par exemple, 6, 10, 11, 14, 16, 33 ou 34 points semblent intéressants :

    Ces nombres de Grundy ont été calculés avec ces fonctions Python, utilisant la programmation dynamique :

    def mex(tab):
    for k in range(len(tab)+1):
        if k not in tab:
            return k

def decomp(n):
    return [(i,n-i) for i in range(n//2+1)]

def grundy(n):
    tab = list(range(5))
    for k in range(5,n+1):
        sommes = set()
        for j in range(k-1,k-4,-1):
            for t in decomp(j):
                sommes.add(tab[t[0]]^tab[t[1]])
        tab.append(mex(sommes))
    return tab[n]

    On constate que pour un nombre raisonnable de points, le nombre de Grundy 9 ne semble pas exister. En fait il faut attendre jusqu’à 418 points pour que le nombre de Grundy soit 9 :

    La répartition des nombres de Grundy semble aussi complexe que celle pour ce jeu inventé par un autre Patrick, ce qui montre que Schim est un jeu objectivement intéressant. En plus, il est praticable très jeune, alors pourquoi se priver ?

  • Le modèle de Bernoulli, une manière non standard pour enseigner les fractions en cycle 2

    Le modèle de Bernoulli, une manière non standard pour enseigner les fractions en cycle 2

    Dans les programmes de 2025, on aborde les fractions dès le cycle 2, selon la progression suivante :

    • En CE, on aborde des fractions de grandeurs (en général continues : par exemple pour obtenir les trois quarts d’une pizza, on coupe la pizza en quatre parts égales, puis on en prend trois ; la plupart des enfants savent qu’il est impossible de couper une pizza en quatre parts rigoureusement égales…),
    • en CM, on passe progressivement des fractions de grandeurs, à des fractions de mesures,
    • en 6e, on apprend qu’en fait les fractions sont des nombres (quotients d’entiers).
    • Dans le nouveau programme (2026) de cycle 4, on lit :

    une fraction est le quotient de deux entiers (numérateur et dénominateur)

    Le programme, qui s’inspire de (Neagoy 2017), n’aborde cependant pas les ratios, clairement évoqués dans l’ouvrage de référence. L’activité présentée ici, par contre, permet aux élèves de réinventer le concept de ratio. En n’évoquant que des grandeurs discrètes (et donc des mesures entières), elle est clairement hors programme. Cependant elle permet de parler de fractions dès le CE 1 avec simplicité et efficacité, et elle reste basée sur de la manipulation d’objets. Elle est basée sur le modèle de Bernoulli qui n’est n’est pas du tout évoqué dans les programmes, mais qui permet d’aborder aussi la notion de probabilité : chez Bernoulli, la probabilité (lorsqu’on extrait un pion de l’urne) que le pion soit noir, est égale à la proportion de pions noirs dans l’urne, comme on le voit avec cette activité en ligne qui existe depuis plus de 10 ans et a déjà servi comme question flash en CM.

    L’activité proposée ici dure environ une heure et est composée de deux parties : au début on distribue des pions de deux couleurs (que les élèves connaissent pour avoir joué à alquerkonane la semaine précédente) et on demande à chaque élève la proportion de pions noirs sur le total de pions ; et dans la seconde partie on demande aux élèves de troquer des pions de manière que la proportion de pions noirs soit une fraction donnée (ici, 1/2).

    Première partie : trouver la fraction

    Sur l’ardoise, les élèves écrivent la phrase à trous suivante :

    Il y a …… pions noirs sur …… pions.

    Puis on leur distribue un nombre aléatoire de pions de chaque couleur, et ils doivent compléter la phrase. Par exemple voici la fraction 7/17 :

    et la fraction 4/11 :

    Au début, beaucoup d’élèves ont tendance à ne compter que les pions blancs au lieu de tous les pions, ce qui aboutit à un ratio (ci-dessus 4:7) au lieu d’une fraction.

    Ceci dit, une fois comprise la différence entre ratios et fractions, les élèves continuent à compter les pions blancs, parce qu’il est plus simple (dès le CE 1) d’additionner les nombres de pions noirs et pions blancs, plutôt que compter tous les pions.

    Souvent, les élèves placent les pions de manière à pouvoir les comparer :

    (fraction 7/12)

    (fraction 4/11)

    (fraction 5/14)

    (fraction 4/11)

    (fraction 8/13)

    (fraction 4/11)

    Simplification de fractions en CE 1

    Pour trouver les nombres de pions noirs et de pions blancs, des élèves de CE 1 ont tendance à simplifier l’urne en sous-urnes identiques entre elles. Ce qui révèle des écritures différentes d’une même fraction :

    4/12 = 1/3

    4/10 = 2/5

    3/9 = 1/3

    6/12 = 1/2

    qui amène à citer un théorème totalement hors programme :

    Lorsqu’une urne peut être décomposée en sous-urnes toutes identiques entre elles, la proportion de pions noirs dans l’urne est la même que la proportion de pions noirs dans chacune des sous-urnes.

    Cependant, il faut bien faire attention au début de l’énoncé, de peur que plus tard des élèves en déduisent à tort des choses comme 2/3+4/5 = (2+4)/(3+5).

    Cette manière de montrer la simplification de fractions, outre le fait qu’elle a été inventée par des élèves de CE 1, présente sur la manière classique l’avantage de ne pas nécessiter d’hypothèse sur la stricte égalité entre mesures continues et de ne parler que de nombres entiers, conformément au programme de cycle 4 de 2026.

    Version cours moyen

    En CM, on apprend plutôt à compliquer les fractions, qu’à les simplifier. Par exemple pour montrer visuellement que 4/12 = 1/3, on commence par représenter 1/3 (en supposant que les trois rectangles sont rigoureusement superposables) :

    et ensuite, on découpe chaque rectangle en 4 parties (rigoureusement, bien sûr, puisque tout un chacun sait que c’est possible) égales :

    et, comme on compte 3 carrés cyan sur 12 carrés, la fraction 1/3 est égale à la fraction 4/12.

    Version CE 1

    Là, on part de 12 graines dont 4 sont noires (on n’a donc effectivement que des entiers) et on arrange les graines pour faire apparaître des motifs identiques, ayant chacun un pion noir sur trois :

    Encore une fois, ce modèle

    • est basé sur des nombres entiers et pas des rectangles,
    • part de la fraction compliquée 4/12 et va vers une simplification,
    • est basée sur une vraie manipulation d’objets et non un simple dessin de rectangles.

    Ce qui peut expliquer son succès auprès d’élèves de CE 1, qui en sont d’ailleurs les auteurs. Reste à produire des exercices du style simplifier les fractions par un jeu sérieux…

    Construire la fraction 1/2

    La première version de l’exercice, en ligne, consistait à créer soi-même une proportion imposée par l’énoncé. Pour la version pions, l’énoncé suivant a été écrit au tableau :

    La moitié des pions sont noirs.

    puis il a été demandé aux élèves de faire en sorte que ce soit vrai, par troc avec l’animateur :

    • soit on demande des pions en plus,
    • soit on se débarrasse de certains pions,

    et, dans chacun des cas, on précise le nombre et la couleur des pions.

    Dans de rares cas, il y avait déjà la bonne proportion de pions, mais même là, les élèves ont essayé de changer la représentation de la fraction 1/2. En fait le but est d’avoir autant de pions de chaque couleur.

    En fait, il s’agit d’un exercice de soustraction. Par exemple si j’ai 7 pions noirs sur 17 pions, c’est que j’ai 10 (obtenu par soustraction) pions blancs, donc un trop plein de pions blancs. Alors je peux

    • me débarrasser des pions blancs superflus (10 pions – 7 pions = 3 pions, ou je les vois par alignement),
    • ou demander des pions noirs : il en faut 10-7=3.

    La seconde méthode, bien que plus compliquée, a été souvent préférée des élèves, aboutissant à des fractions de grand dénominateur et pas forcément égales à 1/2. Par exemple à partir de 7/17 on est arrivé à 12/22 :

    Une élève de CE 1, semblant viser d’instinct la fraction 2/3, a régulièrement constaté qu’il y avait trop de pions noirs, et a essayé de compenser cela en ajoutant d’autres pions noirs, ce qui n’a fait qu’aggraver la situation :

    Une seule élève (CE 2) a pensé à se débarrasser de presque tous ses pions en n’en laissant qu’un de chaque couleur : la moitié c’est un sur deux donc un pion noir et un pion blanc. D’autres fractions, plus complexes, ont été trouvées :

    8/16 :

    6/12 :

    5/10 :

    Avec, souvent, une recherche esthétique impressionnante :

    Presque 1/2

    En CE 2, il y a eu parfois des difficultés à arriver pile sur 1/2. Voici quelques erreurs constatées :

    Dans ces deux derniers cas, il est possible que les élèves en soient restés à la partie précédente, ou qu’ils aient visés d’autres fractions que 1/2 (1/3 ci-dessus). Cependant, il y a eu de réelles difficultés de planification des tâches (la soustraction n’est pas toujours maîtrisée) et la fraction ci-dessus peut aussi provenir de la recherche d’un ratio 1:2 plutôt que celle d’une fraction 1/2.

    Conclusion

    Cette activité est hors programme, mais elle est axée sur la représentation d’une fraction comme quotient de deux nombres entiers, permet de découvrir instinctivement les notions de ratio et de probabilités, est basée sur un cycle entre manipulation et observation, et peut être traitée dans le cadre de la résolution de problèmes. Il serait donc dommage de ne pas la tester, ne serait-ce qu’en APC.

    Voici un petit livret pouvant servir ne serait-ce que pour les dessins :

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  • Séminaire du 22 avril 2026

    14h00 — 18h00, Salle T15, bâtiment T, Campus du Tampon

    Lien pour nous rejoindre en visio

    • 14h-14h30 Le rendez-vous Jeu d’Alain busser: Retour aux jeux de Nim
    • 14h30-15h00 Retour sur la semaine des Maths: 323 élèves au tournoi d’Alquerkonané,Patrick Schilli, Alain Busser, Julien Bominthe
    • 15h-16h10 Atelier de réflexion/débat: C’est quoi le problème avec les probas? Pan des mathématiques souvent mal aimé des élèves, des étudiants et il faut le dire, de certains enseignants aussi, les probabilités posent des problèmes à beaucoup de monde. D’Alembert ne vous aurait pas jeté la pierre… A l’heure où les probabilité et les statistiques sont partout, diagnostiquer pourquoi elles sont boudées et/ou redoutées sera notre point de départ pour une réflexion pour savoir comment réconcilier les élèves et leurs enseignants avec l’apprentissage (et la beauté!) des probabilités. Marion Le Gonidec

    PAUSE

    • 16h30-18h Atelier de réflexion/test: Résolution de problèmes. Présentation et tests de ressources autour de la résolution de problèmes au cycle 3, en lien avec les programmes, Karim Bouasla, Pascal Dorr, Claire Lagarde.